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>- Décomposition en éléments simples dans R(X)
Proposition
Soit R = p une fraction rationnelle, à coefficients dans le corps R, où P et Q sont deux
Q
polynômes premiers entre eux, et où, en outre, Q est unitaire (c'est-à-dire le coefficient
de son terme de plus haut degré vaut 1).
On désigne par x 1 , •• . , Xk> k E N les pôles de R, dont on note n 1 E N, ... , nk E N, les
ordres respectifs.
Alors, Q peut être factorisé en produit de polynômes irréductibles sur R, sous la forme :
k
r
Q(X) = n (X - xi)"; n (X2 + Ài X + µi)e;
i= I
i=I
et il existe un unique polynôme R, et des réels Œx;,.i• (i, j) E { 1, . . . , k} x {1, .. . , nk},f3i.i
et Yi.i• (i, j) E { 1, ... , r} x { 1, ... , td, te. ls que :
R(X) = R(X) + ~ { Œx;,l + Œx;,2 + .. . + Œx;,k }
Li X - x· (X - x·) 2
(X - x·)
11
i
i= I
t
t
t
I
r {
/3i 1 X +Yil
f3i t· X + Yu
}
+
,
+ ... +
' 1
, 1
. X2 +A 1 X + µ·1
(X 2 + A· e X +µ·e-)e;
1=(
1
!
1, 1
1,'
= R(X) ~ ~ Œx;,j
fi f, /3i,j X + Î'ij
+ ~ ~ (X - Xj).i + ~ ~ (X 2 + Àij X + µij ).i
Les coefficients {Jij et /'ij, (i,j) E {1, .. . ,r} x {1, . . . ,t;}, pour les termes de la forme
{3 X + y
2
' ·.I
11
. , peuvent être obtenus en commençant par décomposer la fraction R dans
(X + À;i X + µiJ).1
X
2 + À;J X + µ; 1 étant deux à deux conjuguées.
Exemple
X - 1
Décomposons dans R(X) : R(X) = X (X2 + X + 1
).
Le seul pôle réel est 0; R admettant deux pôles complexes conjugués, j = e
2 ~R , et j2 = e .i~R,
on commence par décomposer R sur La décomposition de R en éléments simples complexes est de la forme :
œ 0
œ·
œ:2
R(X) = - + -
1
- + -
1
-
X
X - j
X - j2
Pour déterminer œ 0 , on mu ltiplie membre à membre (*)par X, ce qui conduit à :
X - 1
Œj
Œ/l
- - - - =œo + X - - +X - -
X2+ X + l
X - j
X -j2
En évaluant cette dernière expression en 0, on obtient :
- 1 = œ 0
191
Il\
~
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u
- n:s
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Q)
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- n:s c:
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