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Démonstration : Notons œp le coefficient de (X
1
dans la décomposition en élé- zo)P
ments simples de R :
_
P
_ P(zo)
œp - [(X - zo) R(X)Jix=zo - Qo(zo)
La formule de Leibniz
1 permet alors d'écrire :
Q(P)(zo) = [(X - zo)P Qo(X)]~~zo = [f C~ ((X - zo)P)(l) Q~-l)(X)]
l=O
IX=zo
= [ c: ((X - zo)P)(P) Qo(X) JIX=zo
=
P ! Qo(zo)
Il en résulte :
P(zo)
1
P(zo)
Œp =
= p.
Qo(zo)
Q(P)(zo)
Les autres résultats sont admis.
Exemple
x
2 +2
Décomposons dans JR.(X) : R(X) = (X _
1
)3 .
La décomposition de R en éléments simples réels est de la forme :
R X = ~ + œt2 + a1 3
( ) X - 1 (X - 1) 2 (X - 1)3
Le développement limité à l'ordre 3 de (X - 1 ) 3 R(X) = X
2 + 2 au voisinage de 1 est :
[cx2 + 2)< o)lx=1+ [cx2 +2)'lx=' ex - I)
[ [cx2 + 2)<3)]
+
X=I (X - 1)2 +
X= I (X - 1)3 + o((X - 1)3)
2!
.
3!
c'est-à-dire :
3 + 2 ex - 1) +ex - 1)
2 + o (ex - 1 )3)
Comme:
(X - 1)
3 R(X) = a11 (X - 1)
2 + a1 2 (X - 1) + œ13
on en déduit, par unicité du développement limité :
a11. = 1
Ainsi:
l
2
3
R(X) = X - 1 + (X - 1)2 + (X - 1)3
•
1. Étant donné un entier naturel n, et deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I de R, n fois
dérivables sur/, la fonction produit f g est n fois dérivable sur/, et:
n
u g)< n) = I c~ f k) g k ~ O
où, pour tout entier k de {0, ... , n), C~ désigne le coefficient binomial ( ~) = k ' <~~kl'.
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