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En évaluant cette dernière expression en -1 , on obtient :
- 3 + 4 - 1
- - = - =œ-1
- 2
2
De même, en multipliant membre à membre (a) par X - 1, on en déduit :
3X + 4
œ-1
_X_+_ I = (X- l)-X- +-1 + œ1
En évaluant cette dernière expression en 1 , on obtient :
3 +4 7
- - = - =œ1
2
2
La décomposition en éléments simples de Rest donc:
l
1
7
l
R(X) = - - - - + - - -
2 X+ l 2X - l
>- Détermination de la partie polaire d'une fraction rationnelle pour un pôle
d'ordre p E N, p ~ 2
Proposition
Soit R une fraction rationnelle, à coefficients dans le corps R(X) = P(X) =
P(X)
Q(X)
Qo(X) (X - zo)P
avec Qo(zo) * O. On désigne par :
(X - zo)j
la partie polaire de R associée au pôle zo .
Alors, le coefficient de
1
dans la décomposition en éléments simples de Rest :
(X - zo)P
·
œ = 1 P(zo)
P
P · Q Les autres termes peuvent être obtenus en effectuant un développement limité de
(X - zo)P R(X) = œ, (X - zo)P- I + œ2 (X - zo)P- 2 + . . . + Œp- 1 (X - zo) + œp
+(X - zo)P R l (X)
où R, est une fraction rationnelle n'admettant pas zo pour pôle, au voisinage de zo.
Ce développement limité étant de la forme :
œ, (X - zo)p- I + a2 (X - zol2 + ... + œµ-1 (X - zo) + œp + o ((X - zo)P)
on en déduit fac ilement, par unicité du développement limité, les valeurs des coefficients
œ. 1 • ••• ,œp.
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