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S'il existe un pôle zo de multiplicité 1, la décomposition de R peut s'écrire sous la
forme:
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R(X)
R(X) = P(X) + Qo(X) (X - zo)
où Qo est un polynôme à coefficients complexes, de degré deg Q - 1, et tel que :
Qo(zo) * 0
Al
1
·
1 · d R
·,
"J
P(zo)
· · ·fi d
ors, a partie po aire e assoc1 .ee au po e zo est
, ce qm s1g01 e one
Qo(zo) (X - zo)
1
ffi ·
d
1 d
1 d,
· ·
'l'
· J d R
P(zo)
que e coe . cient e - - ans a ecomposit10n en e ements s1mp es e . est
.
X - zo
Qo(zo)
Démonstration : La partie polaire de R associée au pôle zo est de la forme :
Par suite:
a
X - zo
aE C
R(X) = P(X) +
R(X)
= P(X) +_a_+ Pi(X)
Qo(X) (X - zo)
X - zo Q1 (X)
où P 1 et Q 1 sont deux polynômes complexes tels que deg P 1 < deg Q 1 et Q 1 (zo) t O.
Il suffit alors de multiplier membre à membre par X - zo :
-
R(X)
-
P1(X)
(X - zo) P(X) + Qo(X) = (X - zo) P(X) + œ + (X - zo) Ql (X)
puis d'évaluer l' expression obtenue en zo, ce qui conduit immédiatement à:
P(zo)
- - = a
Qo(zo)
Exemple
Décomposons en éléments simples la fraction rationnelle :
3X + 4
3X + 4
R(X) -
- - - - -
- X 2 - 1 - (X - l)(X + 1)
1 et - 1 sont des pôles simples. La partie entière de R est nulle, puisque :
deg (3 X+ 4) < deg (X
2 - 1)
•
R étant à coefficients dans R., et ses pôles étant réels, on cherche donc des réels cL 1 et œ 1 tels
que:
R(X)=~+~
X + l
X - 1
On aura donc :
3X + 4
Œ-1
a1
- - - - - = - - + - -
(X - l)(X + l)
X + !
X - 1
En multipliant membre à membre (a) par X + 1, on en déduit:
3X +4
œ1
X - 1 = lLi +(X + 1) X - 1
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