....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Ce résultat ne fait qu'étendre aux polynômes la notion de division euclidienne qui existe pour
les réels. Le but est juste de simplifier le plus possible l'écriture d'une fraction rationnelle.
4. Décomposition d'une fraction rationnelle
~ Décomposition en éléments simples dans C(X)
Soit R = ~ une fraction rationnelle, à coefficients dans le corps C, de pôles z1, ... , Zk,
k;;:,: 2. On désigne par n1 E N, ... , nk E N, les ordres respectifs de z 1 , ... , Zk ·
La division euclidienne de P par le polynôme Q permet d'en déduire l'existence d'un
unique polynôme f>, appelé partie entière de R, et de complexes Œz;, j, 1 ~ i ~ k,
1 ~ j ~ ni, tels que :
R(X) = P(X) + R(X)
.
Q (X)
avec deg R ~ deg Q - l
k
Comme Q (X) est, à un facteur multiplicatif près, proportionnel à n (X - Zir' cette
i= I
relation peut aussi s' écrire sous la forme :
R(X) = P(X) + _R_ - (X_)_
k
avec deg R ~ n1 + .. . + nk - 1
n cx -zir
i= I
ou encore :
-
Lk { œ,. 1
Œz- 2
œ- k }
R(X) = P(X) +
- ~'·- +
''
+ ... +
"''
.
X - z· (X - z·) 2
(X - z·)n;
i= I
I
1
L
k
n;
=
F (X) + L L Œz;,j .
i= I j=l (X - Zi)l
n;
a .
Pour tout entier i de {1 , .. . , k}, ~
z;,J . est la partie polaire de R associée au
f;;t (X - Zi)l
pôle Zi·
Si la fraction rationnelle est à coefficients réels, et admet des pôles réels, alors sa décomposi -
tion en éléments simples est à coefficients réels.
Proposition
Soit Rune fraction rationnelle, à coefficients dans le corps C, de pôles z 1 , . . ., Zk> k E N*,
qui se décompose sous la forme :
-
R(X)
R(X) = P(X) + Q(X)
où P, Q et R sont trois polynômes à coefficients complexes tels que deg R < deg Q.
187
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(