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2. Pôle (d'une fraction rationnelle)
Définition
Soit R une fraction rationnelle, à coefficients dans le corps C de la forme :
R(X) = P(X)
Q(X)
où P et Q sont deux polynômes complexes premiers entre eux.
On appelle pôle de R toute racine zo du polynôme Q, c'est-à-dire tout nombre complexe zo tel que :
Q(zo) = 0
Exemple
- 1 et 2 sont les pôles de la fraction rationnelle :
x
2 + 4
(X + 1) (X - 2)
>- Pôle d'ordre p, p E N* (d'une fraction rationnelle)
Définition
Soit R une fraction rationnelle, à coefficients dans le corps C de la forme
R(X) = P(X)
Q(X)
où Pet Q sont deux polynômes complexes premiers entre eux.
On appelle pôle d'ordre p, p E N* de R, toute racine zo de multiplicité p du polynôme Q, c'est-à-dire tout nombre complexe zo tel qu'il existe un polynôme Q vérifiant:
Q(z) = (z - zo)P Q(z)
avec Q(zo) * O.
Exemple
3 est un pôle d'ordre 4 de la fraction rationnelle
X + 1
(X - 3) 4 (X2 + 1)
3. Division euclidienne dans C[X]
Étant donnés deux polynômes P et Q à coefficients dans C, il existe un unique polynôme/>, et un unique polynôme R, de degré strictement inférieur à celui de Q, tels que:
P(X) = P(X) Q(X) + R(X)
C'est la division euclidienne de P par Q. f> est le quotient, et R le reste.
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