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Fractions rationnelles
et décomposition
en éléments simples
La décomposition en« éléments simples», c' est-à-dire comme somme de fractions rationnelles avec, en dénominateur, des puissances de polynômes irréductibles, et, en numérateur, un polynôme de degré strictement inférieur à celui du polynôme irréductible
qui intervient au dénominateur, est très utilisée en calcul intégral, pour détenniner des
primitives, mais aussi en analyse spectrale, pour calculer des transformées de Laplace
inverses (on trouvera, notamment, des exemples dans [40]).
1. Corps des fractions rationnelles
> À coefficients réels
On désigne par R(X) l'ensemble des fractions rationnelles à coefficients réels :
V R E R(X), 3 P E R[Xl et Q :f. 0 E R[X] : R(X) = ~~~
Ift(X) est Je corps des fractions rationnelles à coefficients réels.
La notation« X» est liée au fait que l'on manipule, ici, des polynômes formels, qu' il
faut bien distinguer des fonctions polynomiales.
> À coefficients complexes
On désigne par C(X) 1' ensemble des fractions rationnelles à coefficients complexes :
V R E C(X), 3P E C [X] etQ :f. 0 E C[X] : R(X) = ~~~
C(X) est le corps des fractions rationnelles à coefficients complexes.
Attentfon, les polynômes Pet Q ne sont en aucun cas uniques! 2 Pet 2 Q conviennent aussi,
puisque:
P(X)
2P(X)
=
Q(X)
2 Q(X)
Comme R c C, Ift(X) c C(X) : il est donc judicieux, dans un premier temps, de
s'intéresser au cas des fractions rationnelles à coefficients complexes.
Proposition
Toute fraction rationnelle R, à coefficients dans le corps C , et supposée non constante,
peut s' écrire sous la forme
R(X) = P(X)
Q(X)
où P et Q sont deux polynômes complexes premiers entre eux :
PJ\Q = l
ce qui signifie qu' il n'existe pas de polynôme non constant div isant à la fo is P et Q.
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