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On appelle fonctions symétriques des racines :
11
O"'J = ZL + Z2 + · · · +Zn
I Zi
i=l
0-2 = z1 z2 + z1 z3 . . .
I Zi Zj
l ~i 0-3 = z1 z2 Z3 + zi z2 Z4 . . . = I Zi z,; Zk
l ~i<.i (Til =
Z1 Z2 .. . Zn
On dispose alors de relations entre les coefficients du polynôme, c'est-à-dire les ai,
i = 0, ... , n, et les fonctions symétriques :
.
_ ( l)k an-k
V k E {1, .. . , n} . O"'k - -
-
an
Ces relations sont également appelées relations de Viète 1 , et peuvent être extrêmement
pratiques.
Démonstration : z1, ... , z 11 étant les racines de P : P(z) = an (z - z1) ... (z - Zn). En
développant cette expression suivant les puissances décroi.ssantes de z, on en déduit :
P(z) =
[
Il
l [ l
n
n- 1
1- I
an Z - an I Zk Z + an 2:- Zi Zj t
k=l
1 ~1<.1~11
+ . . . + (- l)k an [ . . I . n Zij l zn- k + . .. + ( - IY'an ZI .. . Zn
l~I( <12< ... 11
Comme P(z) = a 11 zl1 + I a 11 _k zn-k, on en déduit, par identification, que, pour tout entier
k=l
kde {1, . .. , n} :
•
ce qui conduit au résultat cherché.
l. François Viète (1540-1603), mathématicien, géomètre et astronome français, qui apporta de nombreuses
contributions à l'algèbre; il est à l'origine des prémices du calcul symbolique.
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