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Exemple
Résoudre, dans C ( 1 + i) z
2 + i z - 1 =O.
On obtient: tl = 3 + 4 i.
Il s'agit alors de trouver un nombre complexe o tel que 8
2
= ~;on le cherche sous la forme
o =a + i{J, ce qui conduit à:
8
2 = œ
2 - {3
2 + 2 i œ fJ = 3 + 4 i
On en déduit : œ 2 - {3 2 = 3 , œ /3 = 2.
2 et 1, - 2 et - 1 sont racines évidentes :
l~ = 2 , fJ = 1 ou œ = -2 , fJ = - 1
Ces deux choix sont absolument équivalents, dans la mesure où :
tl = 8
2
= (œ + i/3)
2
= (-8)
2 = (-œ- i/3)
2
Ainsi, les solutions de l' équation du second degré initiale sont :
{
Z1 = -; (~ ~ ~/ = - 1
- i + 2 + i
1 - i
22 = 2 ( 1 + i) = 1 + i = 2
où l'on a utilisé, pour simplifi er l'expression de z 2 , le passage à la forme conjuguée, afin
d'obtenir un dénominateur réel.
3. Relations coefficients-racines
>- Relations coefficients-racines pour un polynôme de degré 2
Soit (s , p) E C
2 . Les nombres complexes ZI et z2 vérifiant:
{
ZI Z2 = p E C
ZI + Z2 = S E C
sont exactement les racines de z
2 - s z + p = O.
Démonstration : Il suffit de calculer:
(z - z 1 )(z - z2) = z 2 - z (z1 + z2) + z1 z2 = z 2 - s z + p
>- Relations coefficients-racines pour un polynôme complexe de degré n
n étant un entier naturel, on considère le polynôme complexe de degré n :
11
P( )
n
_n- 1
'\'
x
z = an z + an- 1 <. + .. . + a 1 z + ao = LJ ak z
k=O
où (ao, a1, ... , a 11 ) E C'
1 x C*.
On suppose qu' il existe n nombres complexes z 1 , z 2 , • . . , z 11 tels que :
,,
P(z) = an (z - z1) (z - Z2) .. . (z - z,i) = an n (z - Zk)
k= I
•
183
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