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Par conséquent, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet
au moins une rac. ine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes.
a, b, c étant trois nombres complexes tels que a * 0 :
où:
az 2 + b z + c = a (z - z1) (z - z2)
ZI
- b - o
2a
- b+o
Z2 = 2a
et où le nombre complexe 8 vérifie 8 2
complexe du discriminant D..
b 2 - 4 ac c'est-à-dire est une racine carrée
'
~ 1.
t3
Dans C , 6. admet deux racines catTées complexes, o et -o. Choisir, comme racine, o plutôt
que -o ne change en aucune façon le résultat.
En effet, si on considère la racine complexe -o du discriminant 6., on obtient alors, comme
racines:
/ -b+o
z 1 = - - =z2
2a
/ - b - 0
Z2 = - - =z1
2a
Les racines sont donc les mêmes, mais obtenues dans un ordre différent.
2. Le discriminant 6. n'admet de racines réelles que si b
2 - 4 ac;;:: O.
> Discriminant réduit
a, b, c étant trois nombres complexes tels que a::/:- 0, on considère l'équation :
a2
2 + b2 + c=O
Lorsque b est de la forme b = 2 b', b' E C, les racines 2 1 , 2 2 peuvent être obtenues en
utilisant le discriminant réduit :
D.' = b'
2 - a c = ô'
2
ce qui conduit à :
- b' - ô'
- b' + ô'
21
22 = - - -
a
a
où le nombre complexe ô' vérifie 8' 2 = b' 2 - ac, c'est-à-dire est une racine carrée complexe du discriminant réduit D.'.
Démonstration: Le discrimi nant est: D. = b
2 - 4ac = 4 (b'
2 - ac). Ainsi:
- b - ô - b' -ô'
Z1 = _ 2_a _
a
- b + ô - b' + ô'
22 = --- 2a
a
•
Comme précédemment, choisir, comme racine, o' plutôt que - o' ne change en aucune façon
le résultat.
Le discriminant réduit 6.' n'admet de racines réelles que si
b'
2 - ac;;:: 0
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