....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Factorisation des polynômes
dans le corps C
1. Polynômes complexes
Définition
n étant un entier naturel, on appelle polynôme complexe de degré n une expression
de la forme:
11
P( )
n
...11- I
~
k
z = an z + a11-1 <.. + ... + a J z + ao = L..J ak z
k=O
où an, a,,_ 1 , • •• , ao sont des nombres complexes.
Par définition, le degré du polynôme P, noté deg P, est donc celui de son terme (ou
monôme) de plus haut degré, c'est-à-dire an z" .
Par convention, le degré du polynôme nul sera noté - oo.
Tout polynôme complexe de degré n E N* s'écrit de manière unique sous la forme:
n
P(z) = a 11 t
1 + a,1- 1 i
1
-
1 + .. . + a 1 z + ao = L ak 1
k=O
(ao, ... , a11) E C'
1
x C*.
Notation
On notera C [X] l'ensemble des polynômes complexes.
Le sous-ensemble de C[X] constitué par les polynômes complexes de degré inférieur
ou égal à n sera noté Cn[X] .
2. Racine d'un polynôme complexe
Définition
On appelle racine d'un polynôme P, un nombre complexez tel que:
P(z) = 0
Théorème
Si z.o est une racine du polynôme P, supposé non nul, alors, il existe un polynôme Q, de
degré deg P - 1, tel que:
P(z) = (z - zo) Q(z)
Démonstration : Ce résultats' obtient par une simple division euc.lidienne par z- zo. Le
reste, qui est constant, est obtenu en évaluant la valeur de Pen zo, et vaut donc zéro. •
180