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2. Racine nieme complexe
Définition
Étant donnés un entier naturel non nul n, et un nombre complexe zo, on appelle racine
nième complexe de zo tout nombre complexez solution de l'équation :
t
1 = zo
En pratique : pour déterminer les racines nièmes complexes du nombre complexe non
nul zo, il faut déjà mettre ce dernier sous forme polaire:
zo = Po ei Bo
Po> 0
Bo E [0, 27r[
On recherche ensuite z sous la forme :
p>O
8 E [0, 27r[
Ainsi:
Il en résulte :
et :
8 = 8o+2kJT
kE Z
n
S i on effectue la division euclidienne de k E Z par l'entier naturel non nul n, on obtient:
k = nq + r
oùr E [0,n - 1].
Par 27r-périodicité du sinus et du cosinus, on a alors :
i!Oo+2klr)
i i(Oo+2nr) 2
.
i e--n- = e n
= e-,-, - e ICJ1f = e-,-, -
L'ensemble des racines nièmes complexes de zo est donc donné par :
{
l
i(Oo+2nr)
}
{ !
i(9o+2kir)
S = Pô e- 11 - , r E {0, 1, 2, .. . , n - l } = p 0 e- - 11 - , k E {0, 1, 2,
Exemple
Soit n E N*. Résolvons, dans C, l'équation suivante:
z" = - 1
En remarquant que - 1 = ei TC, on en déduit :
{2k+ l>iK
z= e- ,,k E {0, . . . , n - 1}
... ,n- 1}}
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