"O
0
c::
::J
0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Exemple
Résolvons, dans C : z 3 = 1, soit:
z3 = e2 ; k1r ' k E Z
En identifiant module et argument, on en déduit que les solutions sont données par :
2;kn
Z = e -
3 , k E {Ü, 1, 2}
L'ensemble des solutions est donc:
où:
Proposition
2in
j=eT
.... .. ...... .... ...... ....
Figure 48.1- Les ra cines cubiques complexes de l'unité.
Pour tout entier naturel n ~ 3, les points dont les affixes sont les n racines nièmes de
l'un. ité, / ;;,,, k E {0, 1, 2, ... , n - 1}, sont les sommets d'un polygone régulier, de
centre O.
Démonstration: Pour tout k de {0, 1, 2, ... , n - l}, désignons par Mk le point d'affixe
e
2
;:,, , et par Mn = Mo le point d'affixe 1.
Alors:
( oM:.0Mk+i) = ( o~ r) + (t: ~+1) [2nJ
= - arg ( e
2
':" ) + arg ( e
2
i ( e~ l
arg
2 1klr
[2n]
e- n -
arg(/~" )
[2n]
27r
[2n]
n
Le polygone MoM 1 ... Mn, de centre 0, est donc régulier.
•
178