....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Racines niemes de l'unité, racines
niemes complexes
1. Racines nieme de l'unité
Définition
Étant donné un entier naturel non nul n, on appelle racine nième de l'unité (ou nombre
de Moivre) tout nombre complexez solution de l'équation :
t
1 =1
Pour obtenir l'expression d'une racine nième de l'unité, on cherche donc z dans C tel
que:
t' = 1
O n a donc, nécessairement : z =/= O.
On peut donc chercher z sous la formez = rei
8 , avec:
(} = Arg(z) [2n]
Il en résulte, grâce à la formule de Moivre :
(r eiBr = ~ ein B = ~- eiO
ER*
ER*
+
+
En identifiant les modules et arguments respectifs des deux membres, on en déduit :
{
y'l = l
n 8 = 2kn , k E Z
Comme r E R:, il en résulte :
2br
r = )
(J = - -, k E 2:
n
Si on effectue la division euclidjenne de k E Z par l'entier naturel non nul n, on obtient:
k = n q + r avec r E [ 0, n - 1 TI
Par 2n-périodicité du sinus et du cosinus, on a alors :
2 ikll
2i (nq+r)n
2
iqJT+2irn
2irn
e ,, = e n
= e
,, = e n
L' ensemble des racines nièmes complexes de 1 est donc donné par :
S = {/;,;", r E {0, 1, 2, ... , n- 1}} = {/;~,,, k E {0, 1, 2, ... , n- 1}}
Dans C, il existe exactement n racines n ièmes de l'unité.
177
Il\
~
~
u
- n:s
u
n:s
c:
<(