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Le terme de plus haut degré est obtenu lorsque k = p, et vaut donc :
E(V
E(V
E(V
I (-1 )
2 P c;P c~ COS
11
() = I c;P cosn () = cosn () I c;,P
p=O
p=O
p=O
Or:
n
n
E( V
E( n; I )
211 = o + l)n = I c~ 1 p 1 n-k = I c~ = I c; p + I c; p + 1
k=O
k=O
p=O
p=O
n
n
E( V
E( n2 I )
o = Cl - 1 r = I c~ c -1 )k 1 11-k = I c -l)k c~ = I c; p - I c;, p + i
p=O
k=O
p=O
p=O
En additionnant membre à membre ces deux relations, on en déduit :
E(V
et donc: I c;P = 2 11 -
1 •
p=O
4. Étape 4
2
11 = 2
E(V
~ c 2p
LJ 11
p=O
Déterminons la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par la suite de polynômes (Tn.)n.,,.2·
Si on pose, pour tout entier naturel non nul n, T 11 ( cos()) = cos (n B), alors, pour tout
entier n ~ 2, la relation(*) s'écrit aussi:
T 11 +1(cosB) = 2 cosBTn(cosB) - Tn - i(cosB)
Tn , T 11 _ 1, T 11 _ , étant des polynômes, ils vérifient donc la relation de récurrence linéaire
d'ordre 2 :
T 11 +1(X) = 2XTn(X) - T 11 - 1(X)
Cette relation permet, en particulier, d'obtenir l'expression du coefficient du terme de
plus haut degré de Tn.
En effet, si on désigne par œ 11 ce coefficient, on a donc :
(Je degré du polynôme X Tn(X) est différent de celui de Tn - 1 (X)).
En itérant, on en déduit, pour tout entier naturel n :
œ11+I = 2œ11 = 2 X 2œn-I = .. . = 2
11 œ1 = 2 11
La suite (œ 11 ) 11 EN* est une suite géométrique de raison 2, de premier terme 1 ; ainsi, pour
tout entier naturel n non nul : œn = 2 11 - 1 .
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