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• Supposons la vraie jusqu'à un rang n > 1.
Les formules d' addjtion permettent alors d' écrire :
cos ((n + 1) O) = cos (nB) cos(} - sin (nB) sin B,
et cos ((n - 1) e) = cos (ne) cos e +sin (ne) sine.
Par suite, en additionnant membre à membre ces deux relations, on en déduit
cos ((n + 1) B) +cos ((n - 1) (}) = 2 cos (n B) cos B, puis :
cos ((n + 1) B) = 2 cos (n 0) cos 8 - cos ((n - 1) 8).
Par hypothèse de récurrence, cos (n 8) est un polynôme de degré n en cos B.
cos (n 8) cos() est donc un polynôme de degré n + 1 en cos B. Comme cos ((n - 1) B)
est un polynôme de degré n - 1 en cos B, cos ((n + 1) 0) est bien un polynôme de degré
n + 1 en cos B.
Le coefficient du terme de plus haut degré est: 2 x 2
11
-
1 = 2n = 2n+
1
-
1
• La propriété
est donc vraie au rang n + l.
• Comme elle est vraie au rang 1, elle est donc vraie pour tout entier naturel n ~ 1.
Ce résultat peut aussi se démontrer grâce à la formule de Moivre :
cos(nB) = 'Re(ei
118 )
n
n
Or: einB = (eiBr = (cos(}+ i sin 8)'
1 = I c~ cosk e i'
1
- k sinn- k B = I c~ cosn- k f) l sink e
k=O
k=O
où C~ désigne le coefficient binomial ( ~). soit :
n
Il
I
I
k=O, k pair
k=O, k impair
E(V
E( nzl )
~ C 2 p COSn-lp8i2P sin 2 P8+ ~ Clp+l COSn-lp-l 8;2P+I sinlp+l 8
~
n
~
n
p=O
p=O
E(V
E("; ' )
I (- J )PC~P cos
11 -
2 P8(sin 2 8)P + i I (- l )'' C~p+l cos
11
-
2 P- 1 ()sin 2 P+ 1 e
p=O
p=O
E(V
E("2
1
)
= I (- l)P c;P cosn-lp 8(1 - cos 2 ())P + i I (- l )PC?ip+l cosn-lp-I Bsin 2 P+I (}
p=O
p=O
Par suite:
E( ~ )
cos(n 8) =
I (- 1 )P c~ p cosn-l p 8 (1 - cos
2 8)P
p=O
Ï (- l)P c~P cos
11
-
2 P B {f (- 1 / c~ cos
2 k e}
p=O
k=O
E(~) P
I I (- l)p+k c~P c~ cosn+2k-2p (}
p=O k=O
175
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