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Complément : les polynômes
de Tchebychev
Dans ce qui suit, on s' intéresse à la famille des polynômes de Tchebychev ' (Tn)n?: 2 ,
définie, pour tout entier naturel n, par T 11 (8) = cos(n, B). On montre que chacun des Tn,
n E N , est un polynôme de degré n en cos 8.
Soit () un réel non nul.
1.Étape1
Vérifions que cos(2 (}) est un polynôme de degré 2 en cos (} :
cos(2()) = cos
2 () - sin
2 () = 2 cos
2 B- 1 = P (cos ()),
où P est le polynôme défini sur C par P(z) = 2 z
2 - l.
2. Étape 2
Montrons que cos(3 ()) est un polynôme de degré 3 en cos ().
D'après la formule de Moivre:
cos(3 ()) = Or :
e 3 iB = ( ei 8 )
3
= (cos() + i sin ())
3
= cos
3 () + 3 i cos
2 ()sin() + 3 cos() (i sin 8)
2 + (i sin 8)
3
soit:
e
3 iB = cos
3 () + 3 i cos
2 () sin () - 3 cos() sin
2 () - i sin
3 ()
En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on en déduit :
cos(3 ()) = 3 iB) = cos
3 () - 3 cos(} sin
2 B = cos
3 () - 3 cos e (1 - cos
2 B)
= 4 cos
3 f} - 3 cos e
3. Étape 3
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, cos(n ()) est un polynôme, noté T 11 ,, de degré n en cos B, de coefficient dominant 2n- I .
• Au rang 0 : cos (0 x ()) = 1 = cos 0 (&) .
• La propriété est vraie au rang 1 : cos() est bien un polynôme de degré 1 en cos(), de
coeffici ent dominant 2
1
-
1
= 1.
• La propriété est vraie au rang 2 : cos(2 8) = 2 cos
2 () - 1 est bien un polynôme de
degré 2 en cos (), de coefficient dominant 2 2 -
1
= 2.
l. Pafnouti Lvovitch Tchebychev ( 1821-1894), mathématicien russe, qui apporta de nombreuses contributions en probabilités et en statistiques.
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