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>- Intervalle
On appelle intervalle de IR l'un des ensembles définis ci-dessus, ou bien IR tout entier.
~
Un singleton est un intervalle fermé (le si ngleton {a l est donc assimilé à l'intervalle fermé
~
[a,a]).
>- Adhérence d'un intervalle
Soit I un intervalle de R Son adhérence Ï est l'ensemble tel que :
• si I est un segment, alors Ï = I ;
• si I est de la forme ]a, b[ ou ]a, b] ou [a, b[, (a, b) E IR 2 , alors Ï = [a, b];
• si I est de la forme ]a, +oo [ ou [a, +oo[, a E IR, alors Ï = [a, + oo[U {+oo};
• si I est de la forme] - oo, a[ ou] - oo, a], a E IR, alors l =] - oo, a] U {- oo};
• si I l'ensemble vide 0, alors Ï = 0.
2. Voisinage
>- Voisinage d'un point
On appelle voisinage d'un point a de R un sous-ensemble de R contenant un intervalJe
ouvert de la forme ]a - ry, a + ry[, où ry est un réel strictement positif et tel que ry < a .
On peut étendre la notion de voisinage à +oo ou - oo; ainsi, un voisinage de +oo est une partie
de IR. contenant un intervalle ouvert de la forme ]xo, +oor, où xo est un nombre réel quelconque.
De même, un voisinage de -oo est une partie de lR contenant un intervalle ouvert de la forme
] - oo, xo[, où xo est un nombre réel quelconque.
3. Les intervalles de IR
Dans ce qui suit, a, b, xo sont des réels tels que a < b. Le tableau suivant reprend les
différents types d'intervalles de R
[a, b)
1
Segment
)a, b[
1
Interval le ouvert et borné
)a, b)
1
Intervalle semi-ouvert et borné (ouvert à gauche, fermé à droite)
[a, b[
1 - Intervalle semi-ouvert et borné (fermé à gauche, ouvert à droite)
0
1
Ensemble vide
{a }
1
Singleton
)xo, +oo[
1
Voisinage de +oo
I========
1
Voisinage de -oo
[Xo, +oo[
) - oo,x 0 [
I ::::=====
1
R tout entier
) - oo, Xo)
) - oo, +oo[
7