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Intervalles, voisinages, bornes
L' ensemble des nombres réels est habituellement représenté sous la forme d'une droite
graduée, appelée droite des réels, où il faut pouvoir se repérer. À cet effet, on introduit
les notions d'intervalle et de voisinage d'un point.
2
1
-2
- 1
0
Figure 2.1 - La droite des réels.
1. Intervalles
> Intervalle fermé et borné (ou segment)
On appelle intervalle fermé et borné (ou segment) tout ensemble de la forme
[a, b] = {xE R,a~x~b}
(a, b)e R
2
,a~b
> Intervalle ouvert
On appelle interval1e ouvert tout ensemble de la fom1e
]a,b[= {x E R,a (a , b) E R
2 ,a ou
] - oo,b[= {xE R,x bE R
ou encore
]a, + oo[= {x E R , a< x} , a E R
où R
2 = R x R est l'ensemble des couples de réels.
> Intervalle ouvert et borné
On appelle intervalle ouvert et borné tout ensemble de la forme
]a, b[ = {x E R, a< x < b}
(a , b) E R
2 , a < b
> Intervalle semi-ouvert et borné
On appelle intervalle semi-ouvert et borné tout ensemble de la forme
[a, b[ = {x E R, a~ x < b}
(a , b) E R
2 , a < b
ou
]a,b] = {xE R,a (a,b)E R
2 ,a > Intervalle fermé
Par convention, tout ensemble de la forme
[a, +oo[ = {x E R, x ;;<: a}
ou
] - oo, b] = {x E R, x ~ b}
b E R
est considéré comme étant un intervalle fermé.
> Ensemble vide
a E R
L'ensemble, noté 0, qui ne contient aucun nombre réel, est aussi un intervalle, appelé
ensemble vide.
> Singleton
On appelle singleton un ensemble ne contenant qu'un seul élément, et qui est donc de la
forme {a}, où a est un nombre réel.
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