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>- Produit cartésien de trois ensembles
Étant donnés trois ensembles E 1 , E 2 et E 3 , leur produit cartésien, noté E 1 x E 2 x E 3 ,
est l'ensemble des triplets d'éléments de la forme (x1, x2, x3) , où le premier élément xi
appartient à E1, le second, x2, à E2, et le troisième, x3, à E3:
E1 x E1 x E3 = {(x1,x2,x3), xi E Ei, x2 E E1 et x3 E E J}
>- Produit cartésien de n ensembles, n E N, n ~ 2
Étant donnés un entier naturel n ~ 2, et n ensembles E 1 , •. . , E 11 , leur produit cartésien,
noté E 1 x ... x En, est l'ensemble des n-uplets d'éléments de la forme (x 1 , ••• , x 11 ), où
X 1 E E 1 , ... , X 11 E En :
E, X ... xEn = {(x,, ... ,Xn). x, E E.1, ... , Xn E En}
>- Application
Étant donnés deux ensembles E et F, une application cp de E dans F associe, à chaque
élément de E, un et un seul élément de F. E est l'ensemble de départ, F, celui d'arrivée.
Pour tout élément x de E, l'unique élément de F ainsi mis en relation avec x par
l'application cp est noté cp(x), et appelé image de x. x est un antécédent de cp(x). On écrit:
cp:E ---7 F
Exemples
1.
X H cp(x)
ip : N--+N
X H X
est u ne application de N dans N, appelée application identité de N .
2.
est une application de Q dans Q.
>- Fonction
l/f :Q --+ Q
X H 2X
Étant donnés deux ensembles de nombres E et F, une fonction f de E dans F associe,
à chaque élément x de E, au plus un élément de F appelé alors image de x par f (ce
qui signi fie donc que tous les éléments de E n'ont pas nécessairement une image par f).
E est l'ensemble de départ, F, celui d'arrivée. L'ensemble des éléments de E possédant
une image par f est appelé domaine de définition de f, et noté Df. Elle permet de définir
une application de D_r dans F .
Exemple
/ : R.--+ R.
1
XH - -
1 - X
est une fonc tion de R dans Ill, dont le domaine de définition est lR \ { l }. Elle permet de définir
une application de iR \ { l} dans iR.
5