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Propriétés fondamentales
des nombres complexes
Pour tout nombre complexe non nul z :
{
arg(z) = - arg(z) [2 7r]
arg( - z) = arg(z) + 1T [2 7r]
arg( - z) = 1T - arg(z) [27r1
Pour tout nombre complexe non nul z, et tout réel strictement positif À :
arg(Az) = arg(z) [27r]
~
Ces propriétés permettent de traduire des problèmes de géométrie par des relations entre
~
nombres complexes.
Corollaire
• Pour tout couple de nombres complexes (z, z') E C * x C * :
arg(zz') = arg(z) + arg(z') [27r]
• Pour tout couple de nombres complexes (z, z') E C * x C * :
arg(;,) = arg(z) - arg(z') [27r]
Démonstration :
Il suffit d'utiliser la forme polaire.
•
Pour tout couple (z, z') E C x C* : (~) = z .
z'
I
z
Pour tout nombre complexez = x + i y, (x, y) E R
2 :
lzl = YU = ~ x
2 + y
2
Pour tout couple de nombres complexes (z, z'): lzz'I = lzl lz'I.
Corollaire
Pour tout nombre complexe z E C, et tout réel À :
IA zl = IAI lzl
Pour tout couple (z, z') E C x C'' : 1 ;,1 = 1
~
1
1
.
Pour tout nombre complexe non nul z : 1~1 = _!_.
z lzl
Pour tout couple (z, z') E C 2 : lz + z'I ~ lzl + lz'I.
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