....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Inversion des nombres complexes
1. Inverse d'un nombre complexe
>- Propriétés
1. Tout nombre complexe non nul z admet un unique inverse, noté z- 1 , tel que :
- 1
- 1
l
zz = z z =
2. Pour tout nombre complexe z :
1
_,
- = e ~
eZ
3. Pour tout nombre complexe z et tout entier relatif k :
>- Calcul de l'inverse d'un nombre complexe
En pratique, pour calculer l'inverse d'un nombre complexez = x + i y, (x, y) E R 2 , on
recherche l'inverse z1 du nombre complexez sous la forme z1
= x + i y', puis on écrit :
.J
. ,
1
x -iy
x -iy
À- +iy = - - =
= - - -
X+ i y (x + i y) (x - i y) x2 + y2
(c'est la technique classique qui consiste à multiplier numérateur et dénom inateur par
l'expression conjuguée du dénominateur, ce qui permet donc de faire apparaître le module de celui-ci.)
Il ne reste plus qu'à identifier parties réelles et imaginaires, tout nombre complexe
s'écrivant de manière unique:
X
x' = - - -
x2 + y2
y' = -
y
x2 + y2
Il en résulte :
2. Anneau commutatif
- 1
z
z = lzl 2
On désigne, souvent, C comme étant Je corps des nombres complexes, parce qu'il est
muni d'une structure algébrique, dite structure de corps, qui désigne un ensemble muni
de deux opérations, notées « + » et « x », dans lequel tout élément non nul est inversible. Plus précisément, un corps est un anneau commutatif, dans lequel tout élément
170