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Représentation géométrique
des nombres complexes
On se place, dans ce qui suit, dans le plan R 2 rapporté à un repère orthonormé direct
( O; i, ~·À tout nombre complexez = x+ i y, on associe le point M de coordonnées (x, y)
dans Je plan.
>- Image
On appelle image du nombre complexe z = x + i y , (x, y) E R 2 , Je point M de coordonnées (x, y).
>- Affixe
On appelle affixe du point M de coordonnées (x, y) E R 2 , Je nombre complexe
afj(M) = ZM = X+ iy.
~
. ~
On appelle affixe du vecteur û = AB le nombre complexe aff(AB) = ZB - ZA·
~
L'affixe du point M de coordonnées (x, y) est aussi celle du vecteur 0 M.
Propriétés
1. Pour tout couple de vecteurs (û, iJ) du plan :
aff(û + iJ) = af f(ïl) + aff(ïJ)
2. Pour tout vecteur ü du plan, et tout réel À :
aff(A Û) = À aff(ïl)
>- Module
On appelle module du nombre complexe z = x + i y, (x, y) E R
2 , et on note lzl, Je réel
positif lzl = .../x 1 + y 2 (c'est aussi la distance du point d'affixe z à l'origine).
>- Argument
On appelle argument du nombre complexe non nul z = x+i y, (x, y) E R 2 , toute mesure,
en radians, de l'angle orienté (tôM), où M est le point d'affixe z. On notera arg(z) une
telle mesure .
L'unique argument de z appartenant à l'intervalle l - 7r, 7r] s'appelle l'argument principal.
~ 1. Le nombre complexe nul 0 ne possède pas d' argument.
~ 2. Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments! Si ()es t un argument du
nombre complexe z E C *, les autres arguments de z sont exactement les réels de la forme
() + 2 br, k E Z.
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