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Ainsi, à chaque point du plan JR.
2 , de coordonnées (x, y) = x x (1, 0) + y x (0, 1), on peut
associer le nombre complexe, ou nombre imaginaire :
z= x + iy
appelé affixe du point M.
Il est clair qu'il est plus facile de manipuler la grandeur z = x + i y plutôt que x x
( l, 0) +y x (0, 1) : on choisit donc, pour la suite, la notation la plus simple, c'est-à-dire
la première!
2. Définitions et propriétés fondamentales
> Ensemble C
On appelle ensemble des nombres complexes, que l' on note C, l'ensemble :
C={z= x+iy, (x, y) E JR.
2 }
(qui est aussi l'ensemble des couples de réels de la forme (x, y), si on identifie JR. 2 et C).
> Écriture cartésienne
On appelle écriture cartésienne d' un nombre complexe z sa décomposition sous la
forme:
z=x +i y
où x et y sont des réels.
> Racine
i est une racine carrée complexe de -1 , car il vérifie
2 :
i2 = - l
(«Une» racine, car -i est aussi une racine carrée complexe de - 1 : (-i)2 = - 1.)
Théorème
Tout élément z de C s'écrit, de manière unique z = x + i. y, où x et y sont des réels.
> Partie réelle
On appelle partie réelle du nombre complexe z = x + i y, (x, y) E JR. 2 , le nombre réel
noté 'Re(z), et défini par :
'Re(z) = x
> Partie imaginaire
On appelle Partie imaginaire du nombre complexe z = x + i y, (x, y) E IR
2 , le nombre
réel noté I m(z), et défini par :
Im(z) = y
Tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle, c'est-à-dire de la forme z = i y,
y E JR, est appelé imaginaire pur.
L'ensemble des nombres imaginaires purs est noté i lR.
2. Les règles de calcul dans 165
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