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Le corps des nombres complexes
Identifions JR
2 à un plan muni d'un repère orthonormé direct ( O; 7, ~ ;c'est assez naturel,
dans la mesure où un point du plan est repéré par deux grandeurs, ses deux coordonnées,
abscisse et ordonnée : on est ainsi en dimension 2.
1. le plan comme ensemble de nombres complexes
Une interprétation très intéressante et très naturelle pour introduire les nombres complexes est celle de Jean-Robert Argand
1 [8], et dont Jos Leys, Étienne Ghys et Aurél ien
Alvarez [10] donnent une interprétation extrêmement claire.
Représentons (voir figure 43.1) l'axe des réels par une droite graduée .VJR., d'origine 0;
la multiplication de l par - 1 envoie 1 sur -1 , qui est l' image de 1 par la symétrie de
centre 0 , que l'on peut aussi considérer comme étant la rotation de centre 0 , d'angle ·
1r.
De même, la multiplication de - 1 par - 1 envoie - 1 sur 1.
-3
- 2
-e
2
3
Figure 43.1- La droite réelle
Notons ile point image de 1 par la rotation de centre 0 et d'angle ~ : ce point n'est
plus sur la droite initiale, mais sur la perpendiculaire à celle-ci passant par l'origine.
Si on va un peu plus loin, et que l'on assimile la multiplication par i à l'opération
résultant de la rotation de centre 0 et d'angle ~, cela signifie que, si on applique cette
même rotation au point i, c'est-à-dire qu'on le multiplie par lui-même, c'est-à-dire i, on
obtient le point situé en -1 sur la droite VJR. !
Considérer les points du plan comme des quantités sur lesquelles on peut définir
une opération comme la multiplication permet donc de définir une racine carrée au
nombre - 1, puisque l'on a alors:
ixi = -1
Comme le point i a pour coordonnées (0, l), il est donc naturel de poser :
i = (0, 1)
1. Jean-Robert Argand ( 1768-1 822), mathématicien suisse, célèbre pour son interprétation géométrique des
nombres complexes comme points du plan. Il a également démontré le théorème de d'Alembert-Gauss, qui
sera vu ultérieurement dans les pages qui suivent
164
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Le corps des nombres complexes
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2 à un plan muni d'un repère orthonormé direct ( O; 7, ~ ;c'est assez naturel,
dans la mesure où un point du plan est repéré par deux grandeurs, ses deux coordonnées,
abscisse et ordonnée : on est ainsi en dimension 2.
1. le plan comme ensemble de nombres complexes
Une interprétation très intéressante et très naturelle pour introduire les nombres complexes est celle de Jean-Robert Argand
1 [8], et dont Jos Leys, Étienne Ghys et Aurél ien
Alvarez [10] donnent une interprétation extrêmement claire.
Représentons (voir figure 43.1) l'axe des réels par une droite graduée .VJR., d'origine 0;
la multiplication de l par - 1 envoie 1 sur -1 , qui est l' image de 1 par la symétrie de
centre 0 , que l'on peut aussi considérer comme étant la rotation de centre 0 , d'angle ·
1r.
De même, la multiplication de - 1 par - 1 envoie - 1 sur 1.
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Figure 43.1- La droite réelle
Notons ile point image de 1 par la rotation de centre 0 et d'angle ~ : ce point n'est
plus sur la droite initiale, mais sur la perpendiculaire à celle-ci passant par l'origine.
Si on va un peu plus loin, et que l'on assimile la multiplication par i à l'opération
résultant de la rotation de centre 0 et d'angle ~, cela signifie que, si on applique cette
même rotation au point i, c'est-à-dire qu'on le multiplie par lui-même, c'est-à-dire i, on
obtient le point situé en -1 sur la droite VJR. !
Considérer les points du plan comme des quantités sur lesquelles on peut définir
une opération comme la multiplication permet donc de définir une racine carrée au
nombre - 1, puisque l'on a alors:
ixi = -1
Comme le point i a pour coordonnées (0, l), il est donc naturel de poser :
i = (0, 1)
1. Jean-Robert Argand ( 1768-1 822), mathématicien suisse, célèbre pour son interprétation géométrique des
nombres complexes comme points du plan. Il a également démontré le théorème de d'Alembert-Gauss, qui
sera vu ultérieurement dans les pages qui suivent
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