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Une paternité controversée
Un peu d'histoire ... C 'est la fameuse Controverse de Cardan, au sujet de la résolution des équations du troisième degré, de la forme x 3 + px = q; Jérôme Cardan
(1501-1576) publia, dans Ars magna en 1545, les formules donnant la solution de
ces équations :
x=
La controverse vint du fait que ces formules furent également trouvées par Nicolas Tartaglia (1499-1557), qui en revendiqua la paternité. Il semblerait, d'après ce
qu ' écrit Cardan, que ces formules furent découvertes, en premier, par Scipione da!
Ferro (1465-1526), qui , malheureusement, ne publia jamais ces résultats, et ne les
confia qu' à un cercle restreint d' élèves.
À la fin du XVTièmc siècle, le mathématicien italien Rafael BombelJi (1526-1572)
applique, dans son ouvrage l'Algebra, cette formule à l'équation x3 - 15 x = 4, et
obtient:
X = ~2 - 11 ~ + ~2 + 11 Çj_
où l'écriture « Y-1 » désigne un nombre, a priori inconnu, dont le carré vaut - 1.
Une racine évidente entière de l'équation précédente est, bien sûr, 4. Mais si on
recherche les autres racines, la formule obtenue par R. Bombelli prend un tout autre
sens; bien que la fonction x H -V ne soit définie que sur R+, on constate, en utilisant
les identités remarquables :
(a - b)
3
= a
3 - b
3 - 3 a
2 b + 3 a b
2 , (a+ b)3 = a
3 + b
3 + 3 a
2 b + 3 a b
2
que:
(2 - Y-1)
3
= 2
3 + Y-J - 3 X 4 Y-J + 3 X 2 (- 1) = 2 - 11 Y-J
et:
(2 + Y-1) 3 = 2 3 - ~ + 3 X 4 ~ + 3 X 2 (- 1) = 2 + 11 ..,f-ï
Ainsi:
~2-11.../-ï+~2+11 "'-Ï = 4 ER
qui a un sens, et est bien solution de l'équation de départ :
4 3 - 15 X 4 - 4 = Ü
Le fait que -1 puisse être le carré d ' un nombre, même « imaginaire », a ainsi commencé à faire son chemin.
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Une paternité controversée
Un peu d'histoire ... C 'est la fameuse Controverse de Cardan, au sujet de la résolution des équations du troisième degré, de la forme x 3 + px = q; Jérôme Cardan
(1501-1576) publia, dans Ars magna en 1545, les formules donnant la solution de
ces équations :
x=
La controverse vint du fait que ces formules furent également trouvées par Nicolas Tartaglia (1499-1557), qui en revendiqua la paternité. Il semblerait, d'après ce
qu ' écrit Cardan, que ces formules furent découvertes, en premier, par Scipione da!
Ferro (1465-1526), qui , malheureusement, ne publia jamais ces résultats, et ne les
confia qu' à un cercle restreint d' élèves.
À la fin du XVTièmc siècle, le mathématicien italien Rafael BombelJi (1526-1572)
applique, dans son ouvrage l'Algebra, cette formule à l'équation x3 - 15 x = 4, et
obtient:
X = ~2 - 11 ~ + ~2 + 11 Çj_
où l'écriture « Y-1 » désigne un nombre, a priori inconnu, dont le carré vaut - 1.
Une racine évidente entière de l'équation précédente est, bien sûr, 4. Mais si on
recherche les autres racines, la formule obtenue par R. Bombelli prend un tout autre
sens; bien que la fonction x H -V ne soit définie que sur R+, on constate, en utilisant
les identités remarquables :
(a - b)
3
= a
3 - b
3 - 3 a
2 b + 3 a b
2 , (a+ b)3 = a
3 + b
3 + 3 a
2 b + 3 a b
2
que:
(2 - Y-1)
3
= 2
3 + Y-J - 3 X 4 Y-J + 3 X 2 (- 1) = 2 - 11 Y-J
et:
(2 + Y-1) 3 = 2 3 - ~ + 3 X 4 ~ + 3 X 2 (- 1) = 2 + 11 ..,f-ï
Ainsi:
~2-11.../-ï+~2+11 "'-Ï = 4 ER
qui a un sens, et est bien solution de l'équation de départ :
4 3 - 15 X 4 - 4 = Ü
Le fait que -1 puisse être le carré d ' un nombre, même « imaginaire », a ainsi commencé à faire son chemin.
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