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N
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Ol
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>a.
0
u
Il en résulte :
af
. af
af
rcos
2 e ôr(r,e) - cosesme ôe(r,B)=rcose ôx(x,y)
et:
ce qui conduit à :
a
a ·
ax a~ (x, !!) + !! a~ (x, y) = r fr (r, e)
Par suite :
af ôr (r, B) = 0
et donc:
f(r, B) = h(B)
où h est une fonction de classe C
1
sur] - ~ , ~[.
En repassant en coordonnées cartésiennes, on en déduit finalement, pour tout (x, y) e JR: x lR :
f(x, y) = h (arctan(~))
41.b) À l' aide du changement de variables
{
u=x + y
V= x - y
déterminons les fonc tions f : ~
2
~ IR, de classe C
2 , solutions de l' équation aux dérivées partiel les :
On remarque que, pour tout (x, y) de !R.
2 :
On pose:
{
X= U; V
u - v
y= -
2
-
(u + v u - v)
f(u,v) = f -
2
- , -
2
-
La formule de dérivation composée conduit alors, pour tout (u, v) e R. 2 , à :
=
et :
(
U +V)
ôf [ôf]
ô - 2
[ôf]
-, = -,,.
ôu
+ -,
ou
éJx ( ";"."ï" )
éJy ('';"."ï")
=
158