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Mill Une fonction f: JR. 2 --? R est dite homogène de degré a E R* si, pour tout réel strictement positif il, et tout couple de réels (x, y) :
f(À X, 1l y) = A'r f(x, y)
Lorsque la fonction f est de classe C
1 sur JR.
2 , si on dérive la re.lation précédente par rapport à À,
on obtient, par dérivation composée, pour tout (x, y) E JR.
2 :
x[af ]
+ y[af ]
=œ11 8x (Ax.Ay)
8y (Ax.Ay)
Cette relation étant vérifiée pour tout réel À, elle 1 'est pour 1l = 1, ce qui conduit à :
X 8/)j (X, y)+ ij 8Ôj (X, y) = a j(x, y)
·x
y
MIM 41.a) Pour déterminer les fonctions f: R: x R.--? R., de classe C
1 , solutions de l'équation
aux dérivées partielles :
8/
iJf
x -+ y - =0
8x
8y
on passe en coordonnées polaires, en effectuant le changement de variables :
{
X = r COS8
y=rsinO
Comme (x, y) E R.: x R --? R : (r, 8) E IR: x ] - ~, ~[.
II faut aussi effectuer un changement de fonction inconnue, en posant :
j(x, y) = f(r cos e, r sine) = .f La formule de dérivation composée condui t alors, pour tout (r, 8) E R.: x ] - ~,~[,à:
ôf (r, 8 ) = [ôf]
ô(r cose) + [ôf]
ô(r sine)
8r
8x (nos6,r sinB)
or
Ôij (r cos6.r sinB)
Ôr
=
cos e -· -
+ sin e -
[ ôl]
[ôf]
ÔX (rcosO.rsinO)
ôy (rcosO.rsinO)
et:
8j(r,O) = [8! ]
8(r cose) + [8f]
8(r sine)
88
8x (r cosO.rsinO)
88
8y (r cosO,r sinO)
88
= - r si n 0 -
+ r cos 8 -
[ âf]
[ôf ]
8x (r cosO.r sin O)
8y (r cos O.r sin O)
Il est judicieux de remarquer que :
8f
. 8f
8/
r cos 8 -
8
(r, 0) - sm 0 -
8
(r, B) = r -
8
(x, y)
r
r
x
et :
. 8/
8f
8/
r sme8
(r,O) + coso -
8
(r,0) = r -
8
(x,y)
r
r
y
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