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fP]
ae2 (r,8) =
=
a [al]
ae ô() ( r, (})
a r . [ôf]
[of]
]
-
- r sm e -
+ r cos e -
ae
ôx (r cos8,r sin 8)
ôy ( r cos 9.r sin 9)
=
[ af]
. [af]
- r cos e -
- r sm e -
ÔX (r cosO.r sin l:I)
ây (r cosO,r sinO)
o [ . e [of]
e [âf]
] ô(r cos())
+- - rsm
-
+rcos -
ôx
ôx (r cos9,r sin9)
ôy (r cos8.r sin8) ae
ô [ . [ôf]
[of]
J o(r si n O)
+- -r sm e -
+ r cose -
ôy
ÔX ( r cos8.r sin 8)
Ôy (r cos8,r sin8) ô()
=
[ af]
. [af]
- r cos e -
- r sm e -
OX (r cosO.r sin l:I)
ây (r cosO,r sinO)
[ a
2
1]
[ a
2
f]
+r 2 sin
2
e -
- r2 cos() sin e - -
8x2 (r cos9.rsin9)
ÔXÔlj (r cos8,r sin 8)
[ a
2
1]
[a
2
1]
- r 2 sin e cos e -+ r2 cos
2
e - ?
ÔXÔlj (r cos8,r sin9)
ôy- (r cos8,r s in 8)
=
[ ôf]
. [ôf]
- r cos(} -
- r sme -
ÔX (r cos8,r sin9)
ôy (r cos8,r sin8)
[ ~fJ
r~fJ
+r2 sin
2
e ~
- 2 r
2
cose sine - ,âx (r cos8.r s in 8)
ôxây (r cos8,r sin8)
+r2 cos
2
e -
[ a
2
f]
Ô Y
2
(r cos 0,r sin 0)
(Il faut faire attention en dérivant par rapport à() l'expression
-rsme -
+rcose -
. [af]
[of]
ÔX (r cos8,r sin8)
Ôij (r cos8.r s in 8)
où chaque terme se dérive comme un produit: - r sine et [~f]
dépendent de e, et il
X (r cos 0,r s in 0)
en est de même der cos(} et [~f]
. )
Y (r cos 8,r sin 8)
On remarque alors que :
2 a
2
J
a
2 J
a
2
f a
2
f
[a f]
. [a f]
r - (r 8) + - (r 8) = - + - - r cose -
- r sme -
8r
2 '
ae
2 '
8x
2
8y
2
ox (rcos9.rsin 9)
ây (rcos8,rs in 8)
af
=
r
2 fl. f(r, 8) - r - (r, 8)
or
On peut alors en déduire l'expression du laplacien en coordonnées polaires:
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