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Mi Soit f: iR.
2 ---? JR, de classe C
2 .
On considère le changement de variables :
{
X= r COS e
y = r sin 0
On rappelle qu'en coordonnées cartésiennes :
On pose:
a2f a2f
!J.f(x,y) = ôx2 + ôy2
f(r, e) = f(r cos e, r sine)
OÙ r E IR.+ et e E [0, 2 n[.
La formule de dérivation composée conduit alors, pour tout (r, 0) de JR.+ x [0, 2 n[, à :
âf( . ) [âf]
â(r cosO) [âf]
â(r sinO) O)
- r, e = -
+ -
(r,
Ôr
ÔX (r cos0.r s in 8)
Ôr
ôy (r cos B.r sin B)
Ôr
=
cos e -,
+sine -
[ ôf]
lôf]
i)x (rcos8,r sinB)
fJy (r cosB,r sin B)
et :
iJ J (r, O) = [ô f l ô(r cos 0) + [a f l ô(r sin 0)
ôe
ÔX (r cosB,r sin B)
88
ôy (r cosB.r sinB)
ôe
= - rsine[
81 ]
+ rcos e[
8
f]
OX ( r cosB.r sin 8)
ôy (r tosB,r sin B)
Il en résulte :
[ ôf]
af
sine aj
-
= cose - (r e) - - - (r B)
âx (r cosO.r s in O)
f)r ,
r ôe ,
[
ôf]
=sin 0 af (r, 0) + cos e af (r, 0)
fJy (r cosO,r s in O)
Ôr
r ôe
De même, par dérivation composée, pour tout (r, e) de IR.+ x [0, 2 rr[ :
a
2
f
f)
') (r,O) =
r=
=
=
a [al]
ôr ôr (r,O)
a [ [af]
. [af]
J
- cose -
+sine -
f) r
_ Ô X (r cos 8.r sin 8)
f) Y (r cos 8.r sin 8)
fJ [
0 [of]
. 0 [ôf]
J ô(r cosB)
-
cos
-
+ sin
-
ÔX
ÔX (r cos8.r sin8)
ôy (r cosB,r sin B)
Ôr
a [ e [ôfl
. e [ôfj
J ô(r sine)
+ -
cos
-
+sm -
f)y
ÔX (rcos8,r sin8)
Ôy (r cosB,rsin B)
Ôr
[ 8
2
ll
[ 8
2
f J
cos
2
e ~
+ cos e sine - -
ôx (r cosO,r sin O)
ôxôy (rcosO,r sin O)
[
8 2 1 ]
[a21]
+ sine cos e -+ sin
2
e - ?
ôxôy ( r cos B,r sin 8)
ôy- (r cos8,r s i11 8)
[ a2f]
[ a 2 f]
[a 2 1]
= cos
2 0 - 2
+ 2 cos 0 sin 0 - -
+ sin
2 0 - 2
ÔX (r cos B,rsin B)
ôxôy (rcos8.rsin0)
ôy (rcosB.r sin (I)
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