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La fonction x H - -
2
-
1
- est continue sur R C'est la dérivée de la fonction x H - arctan x.
X + 1
Les solutions de l'équation différentielle homogène, y' = - -
2
y sont donc de la forme x H
X + 1
C e-arcianx où C est une constante réelle.
Il est ensuite intéressant de remarquer que la fonction constante x H À est une solution particulière de (85).
La solution générale de (8 5 ) est donc donnée, pour tout réel x, par :
y(x) =Co e-arcianx +À
où Co est une constante réelle.
E!I Les solutions polynomiales de l'équation différentielle (86) sont de la forme :
N
X H Ypoly11ornia!e(X) = I ak .1
k=O
où N est un entier naturel, et où ao, ... , aN sont des réels.
On a alors:
N
Y~oly11orniale k=I
En injectant cette expression dans (86), on obtient :
N
N
x2 Y~olynomiale k=I
k=O
N
N
= Ikakxk+i - Iakxk+i
k=I
k=O
N
= I 1 - aox
k=I
N+I
= I k=2
=
x 3 +X
Un polynôme étant nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, on en déduit que, nécessairement, N + 1 = 3 et:
ao = -1
(N + 1 - 2) GN+ 1-1 = 1 c'est-à-dire a2 = 1
et, pour tout entier k de {2, N) = {2} :
(k - 2)ak-1 = 0::::} ak-1 = a1 = 0
a 1 reste indéterminé.
On vérifie que, réciproquement, pour a 1 E R., la fonction x H x2 +ai x - 1 est bien solution de
(86) .
L'équation différentielle (8 6 ) admet donc pour solutions polynomiales:
XHX
2 +aix-1
On vérifie que, réciproquement, la fonction x H x2 +ai x - 1 est bien solution de (86).
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