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Pour déterminer une solution particulière de (8 3 ), on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x H y 0 (x) = C(x) ex
3
, où C est une fonction
dérivable sur Ill: . On obtient alors, pour tout réel x > 0 :
y~(x) = 3 x2 C(x) ex
3 + C' (x) e~.3
En injectant cette expression dans (8 3 ), on obtient:
x y~(x) - 3 x 3 Yo = 3 x 3 C(x) ex
3 + x C' (x) ex
3
- 3 x 3 C(x) e).:; = 3 x 3 e
2 x
3
xC'(x)ex
3 = 3x 3 e 2 >.:;
puis, com me x > 0:
C'(x) = 3 x 2 ex
3
Il en résulte :
C(x) = ex
3 + Constante
La solution générale de (8 3 ) est donc donnée, pour tout réel x > 0, par :
\
.3
.3
2 .3
J
y(x) = ex- ex + Co ex = e ..\ + Co e·
1
où Co est une constante réelle.
MM Sur l'intervalle ]0, +oo[, la fonction x H ~est continue. C'est la dérivée de la fonction
X
x H 2 ln x. Les solutions del' équation différentielle homogène, y' =
2
y sont donc de la forme
X
x H C e 2 10 x = C x2, où C est une constante réelle.
Pour déterminer une solution particulière de (8 4 ) , on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x H y 0 (x) = x
2 C(x), où C est une fonction
dérivable sur I R. :. On obtient alors, pour tout réel x > 0 :
y~(x) = x2 C' (x) + 2 x C(x)
En injectant cette expression dans (8 4 ), on obtient :
x2 C'(x) + 2xC(x) = 2xC(x) + x
ce qui conduit à C' (x) = ~ .
X
On peut alors choisir C(x) = ln(x). 11 en résulte, pour tout réel x > 0 :
yo(x) = x
2 ln x
La solution générale de (8 4 ) est donc donnée, pour tout réel x > 0, par :
y(x) = x
2 (Co+ lnx)
où Co est une constante réelle.
MM L'équation différentielle homogène associée à (85) est :
(x
2 + l) y' +y = 0
•
I
y
s01t encore y = - - 2
- - .
•
X + 1
153