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MW L'équation différentielle homogène associée à (8 1 ) est :
y' + y=O
dont les solutions sont de la forme x H C e-x, où C est une constante réelle.
Pour déterminer une solution particulière de (8 1 ), on utilise la méthode de variation de la
constante, en recherchant une solution sous la forme x H Yo(x) = C(x) e-x, où C est une fonction
dérivable sur lR. On obtient alors, pour tout réel x :
y~(x) = - C(x)e-x + C'(x)e-x
En injectant cette expression dans (8 1 ), on obtient:
y~(x) + Yo = - C(x) e-x + C' (x) e-x + C(x) e-x = 2 shx
soit :
C' (x) e-x = 2 shx
ce qui conduit à
C'(x) = 2ex shx = e
2 x - 1
Il en résu lte :
e2 x
C(x) = T - x + Constante
La solution générale de (8 1 ) est donc donnée, pour tout réel x, par :
où Co est une constante réelle.
Ml L'équation différentielle homogène associée à (8 2 ) est :
y' + 2xy = 0
La fonction x H - 2x est continue sur R C'est la dérivée de la fonction x H - x 2 . Les solutions
de l'équation différentielle homogène, y' = - 2xy sont donc de la forme x H C e-x
2
, où C est
une constante réelle.
li est ensuite intéressant de remarquer que la fonction x H 1 est une solution particulière de (8 3 )
(cette remarque s' applique à toute équation de la forme y' + a(x) y= a(x), où a est une fonction
définie sur un intervalle l de IR, à valeurs dans IR, continue).
La solution générale de (8 2 ) est donc donnée, pour tout réel x, par :
y(x) = Co e- ),.
2 + 1
où Co est une constante réelle.
MW L'équation différentielle homogène associée à (8 3 ) est :
xy' - 3x
3 y=O
soit encore y' = 3 x
2 y (on peut simplifier par x, qui ne s'annule pas sur ~:).
Sur R :, la fonction x H 3 x 2 est continue. C'est la dérivée de la fonction x H x 3 . Les solutions
de l'équation différentielle homogène, y' = 3 x
2 y sont donc de la forme x H C ex3 , où C est une
constante réelle.
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