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e vl+sinx _ e
Tl est clair que lim
existe. On obtient :
x->O
tanx
. evl+sin x _ e
e (i + o(x))(J+o(l))
(l )
hm
= lim
=lime - + o(l) (l +o(l)) = :_
x ..... o tan x
x ..... o
x
x ..... o 2
2
32.c) Comme r = ex ln(x) , il est intéressant de poser y= x - 1, afin de se ramener à un calcul de
limite en O. On a alors :
Au voisinage de zéro:
e x ln x _ X
e<11+I) ln(y+I ) _ y _ ]
- - - - =
1- x+lnx
ln(l + y) - y
=
=
e'' ln(y+ l)eln(y+ l) - y - 1
ln(l+y)-y
(y+ l)(ey ln(11+I) _ 1)
ln(l + y) - y
ln(l +y) =y + o (y)
y ln(l + y) = y2 + o (l)
eY ln(y+ I) = l + y2 + o (y2)
et donc:
Il en résulte
(y + l)(elf ln(y+J) - 1)
ln(l+y)-y
=
(y + l )(y2 + 0 (y2)
y - ~ - y + 0 (y2)
y2+o(y2)
-~ + 0 (y2)
1 + o( l )
= - - - -
1
•
-2 + o(l)
.
XX - X
.
(y+ l )(eyln(y+l) - l)
hm
= l11n
= - 2
x ..... 11 - x+lnx 11 ..... 0
ln(l+y) - y
32.d) Il est judicieux de poser : y = ~ . On a alors :
X
(l + ~ r = edn(I+ ~) = e~ ln(l+a y)
On commence par déterminer un développement limité de la fonction y H ln( I + œ y) à l'ordre
l au voisinage de 0 :
ln(l + ay) = ay + o(y)
.
. , ln( 1 + œ y)
.
, .
,
ce qm condmt a:
=a+ o(l). On en dedmt, lorsque y tend vers zero:
y
e! ln(l+üy) = ea+o(I) = ea· e l+o( I) = eçr (l + o(l)) = ea· + o(l)
Il en résulte : lim (1 + ~)x = lim e~ ln( l +<~y) = e
0 '.
x->+oo
X
lJ->Û
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