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u
Le développement limité à l'ordre 4, au voisinage de 0, de la fonction arcsinus, s ' obtient en
intégrant termeà terme le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de ~·ce qui
donne
arcsin(x) = x + ~ + o (x
4
)
Il en résulte :
x 2 x 3 3 x
4
g1 (x) = 1 + x + 2
+ "6 + S + o (x
4
)
31.b) Au voisinage de zéro :
(
(2x)2
(2x)
4
)
(
2x
4
)
ln(cos(2x)) =ln 1 - -
2
- + 3! + o(x
4 ) =ln l - 2x
2 + 3
+ o(x
4 )
D'où, en utilisant un développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
x H ln(! + x):
2
2 x
4
4
( 4 )
2
4 x
4
( 4 )
g2(x)= - 2x + 3
- 2x + o x = - 2.x- - 3
+o x
MW 32.a) Au voisinage de zéro :
y! + sin(x) =
=
=
x 3
1 + sin(x)=1 + x - 3! + o(x
3 )
(
x 3
) ~
l + X - 3! + 0 (x
3 )
1( x3) x2 x3
1 + - X - -
- -
+ - + 0 (x
3 )
2
3 !
8
16
X
x2 x
3
l + 2 - 8 - 48 + o (x3)
x
x x
2
x 3
e-ï = l - 2 + 8 - 48 + o (x3)
.YI +sinx + e- ~ - 2
Il est clair que lim
3
existe. On obtient :
x->O
X
x3
. Vl+sinx + e-~ - 2 . - 41+o(x
3
)
hm
=hm
·
=
x->O
x 3
x->O
x 3
4 !
32.b) Au voisinage de zéro:
-J1 + sin(x)=1 + ~ + o(x)
ev'l +sin(x) = el + ~+o(x) = ee~ +o(x) = e (1 + ~ + o(x))
Et:
1
1
1
1
=
=
= - (1 + a(l))
tan(x)
x + o (x)
x 1 + o(l)
x
1
150