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MJ1i 30.a) Les développement limités, à l' ordre 4 au voisinage de 0, des fonctions cosinus et
1
.
d
,
x H - - sont respectivement 01mes par :
1 - x
x2
x4
4
COS X = 1 - - + - + 0 (x )
2
4 !
-
1
- = 1 + x + x
2 + x3 + x
4 + o (x
4
)
1 - x
D'où, en multipliant
~o~ ~ = ( 1 - ~ + ~: + 0 (x
4
)) ( 1 + x + x
2 + x
3 + x
4 + o (x
4
))
et donc
cos x
.
2
3
4
x2 x3 x
4
x
4
( 4 )
- - = l +x+x-+x +x - - - - - - + - + o x
1- x
2
2
2 ~
x
2
x 1
13 x
4
4
=
I + x+-+-+--+o (x )
2
2
24
Le développement limité à l' ordre 4, au voisinage de 0, de la fonction exponentielle est donné
par :
x2
x3
x4
ex= l +x + 2
+ 3!+ 4
! + o (x
4
)
Le développement limité cherché est donc:
30.b) Les développements limités à l ' ordre 4, au voisinage de 0, des fonctions de x H ln(l + x 2 )
et x H tan x, sont respectivement donnés par :
x3
tan x = x + 3
+ o (x
4 )
D 'où, par composition:
li n' était donc pas nécessaire d 'aller j usqu'à l'ordre 4 pour le développement li mité de tan x .
MJM 31.a) Le développement Limité à l'ordre 4 au voisinage de 0, de la fonction
1
d
,
x H _ ~ .
est onne par
vl - x 2
=
x2 (-l)(-J_ - 1)
= 1 + 2 + 2 2 2
x4 + o ( x4)
x
2
3x
4
=
1+2 + 8 +o(x4)
149