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De même, par dé1ivation composée, pour tout (u , v) E iR 2 :
Par suite, pour tout (u, v) E !R 2 :
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ôuôv
f est solution si et seulement si, pour tout (u, v) E !R 2 :
f(u, v) = h(u) + g(v)
où h et g sont deux fonctions de classe C
2 sur R
En repassant en coordonnées cartésiennes, on en déduit finalement, pour tout (x, y) E !R 2 :
f(x, y) = h (x + y)+ g(x - y)
L' équation aux dérivées partielles étudiée est un cas particulier de l'équation des ondes:
où c désigne la célérité, et t la variable temporelle (rôle joué ici par y).
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