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On en déduit, par composition :
ln (cosx) =
soit:
ln (cos x) =
x
2
x
4
x
6
1 ( x
4
2 x
6
)
1 ( x
6
)
- 2 ! + 4! - 6! - l 4 - 2 X 4 ! + + 3 - S + O ( Xô)
- x2 + x4 (__!_ - ~) + x6 (- __!_ _ l _ - __!_) + o (x6)
2 !
4 ! 8
6 ! 2 X 4 ! 24
= - x2 + x4 (__!_ - ~) + x6 ( -
1
- _l_ - __!_) + o (x6)
2
24 8
24 X 5 X 6 2 X 24 24
= - x2 + x4 (__!_ - 2-) + x6 ( - 1 + _ I_ - __!_) + o (x6)
2
24 24
24 X 5 X 6 2 X 24 24
x
2
2 x
4
x
6
(
1
1
)
- 2 - 24 + 24 - 5 X 6 + l - l + O ( X
6
)
x2
x
4
x6 ( 8 )
- 2 - 12 + 24 - 15 + 0 ( x
6
)
x2
x4
x6
- 2 - 12 - 45 + 0 (x
6
)
=
=
=
=
Cette dernière quantité tend bien vers zéro lorsque x tend vers O.
On a aussi, au voisinage de zéro,
.
x3 x5
( 6)
sm X = X - - + - + 0 X
3 ! 5 !
II en résulte, par produit :
{
x3 x5
} { x2 x4 x6
}
(sinx) ln (cosx) = x - - + ::...__ + o(x
6 )
- - - -
- -
+ o(x 6 )
3 ! 5 !
2
12 45
x3 xs
xs
=
- 2 - 12 + 2x3! +o(x
6
)
=
=
146