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u
WJW Déterminons le développement limité à l'ordre 5, au voisinage de 0, de la fonction
X H 'Pl (x) = e5in x .
. .
0 .
~ x5
(5)
Au voisinage de : sin x = x - 3ï + 5! + o r , et :
u2 u3
us
e" = 1 + u + "2 + 3ï + . . . + 5! + o (us)
On en déduit, par composition:
soit:
e sin x =
+
x 3
xs
1 + X - - + - + 0 (x5)
3' 5'
1
.
3
1 (
x 3
x5
)
1 (
x 3
xs
)
-
X - -
+ - + 0 (x5) + - X - - + - + 0 (x5)
2
3! 5!
3!
3! 5!
1 (
~ x5
)4 l ( 3 x5
)s
+ - X - - + - + 0 (x5) + - X - . ::. . _ + - + 0 (xS) + 0 (x5)
4!
3! 5!
5!
3! 5!
=
+
+
~
x5
l+x - - + -
3 ! 5 !
~ (x2 + _±_ _ 2 x
4
) + _!_ (x 3 _ 3 x
5
)
2
3!3!
3!
3!
3!
x4
x5
- + - +o(x5)
4! 5!
sin x
.
X
2
4 ( 1
l )
s ( 2 3 ) ( s)
e
= l+x +- +x - - - + r - - - - +o x
2
4 ! 3 !
5 ! 3 !3 !
x2 4 ( 1 4 ) 5 (
1
3 )
( 5)
= I +x + -+x - - - + x
- - +o x
2
4 ! 4 !
3 X 4 X 5 36
= 1 + x + x2 + x
4
(-2-) + xs ( -
1
- - _!_) + o (x5)
2
4 !
12 X 5 12
=
1 + x + x2 - x4 + x5 (- _ 4 - ) + o (xs)
2
8
12 X 5
=
x2 x4 xs
l + X + - - - - - + 0 (x5)
2
8
15
WJI Déterminons Je développement limité à l'ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction
x H cp 2 (x) = In (cos x).
x2 x4 x6
Au voisinage de 0 : cos x = 1 - 2
! + 4
! - 6
! + o ( x
6 ), et :
u2 u3 u4 us u6
ln(l + u) = u - - + - - - + - - - + o (u
6 )
2
3
4
5
6
144