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21.b) La fonction x H tanx ne s'annulant pas sur ]o, 1(, on peut appliquer le théorème de
dérivabilité d'un quotient de deux fonctions dérivables. On en déduit que f est dérivable sur
Jo, Î [.sa dérivée étant définie, pour tout réel x de Jo, H· par:
tanx- _x_
.f'(x) = ___ co_ s2_ x
tan 2 X
=
sinxcosx - x
sin
2 x
si n(2x) - 2x
0
=
2
< '
2sin x
(on utilise le résultat précédent: sin(2 x) - 2 x < 0)
f est donc strictement décroissante sur ]o. 1 [.
21.c) Comme f est continue et strictement décroissante sur !, alors :
JU) = L~r- J(x), }~11;1 + J
f : I - f (!) est smjective. Elle réalise donc une bijection de I surf(/).
21.d) Comme f (~) = i· alors, d'après la définition de g, g G) = i·
21.e) Comme f est dérivable sur I et que f'(V = l - ~ * 0, on peut appliquer le théorème de
~~~~ation des fonctions réciproques. On peut alors en déduire la fonction g est dé1ivable en i et
f (1f) l
g 4 = 1 - !!
2
WJW 22.a) En écrivant j(x) = sh (sin x), et en utilisant le théorème de composition des fonctions dérivables, on en déduit que f est dérivable sur IR et que, pour tout réel x :
f' (x) = cos(x) ch (sin x)
22.b) La fonction .f est impaire. Sa dérivée est strictement positive sm [ 0, Î [. Elle est donc
strictement croissante sur] - ~,~[. Comme, par ailleurs, f est continue, l'image J = f (]-~, ~[)
de ]-~, ~ [ par f est donnée par
] ( 1T) (1T)[ ] e2 - 1 e2 - 1 r
f - 2 ,f 2 = - ~, ~ .
f étant continue et strictement monotone sur]- ~,~[, elle réalise une bijection de]- ~ , Î[ dans J.
22.c) La fonction r
1 est impaire (comme/). On a donc r
1
(0) =O. Comme .f'(O) = l * 0, on
peut appliquer le théorème de dérivation des fonctions réciproques. On en déduit alors que r
1
est dérivable en 0, avec :
(r')' co) = i.
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21.b) La fonction x H tanx ne s'annulant pas sur ]o, 1(, on peut appliquer le théorème de
dérivabilité d'un quotient de deux fonctions dérivables. On en déduit que f est dérivable sur
Jo, Î [.sa dérivée étant définie, pour tout réel x de Jo, H· par:
tanx- _x_
.f'(x) = ___ co_ s2_ x
tan 2 X
=
sinxcosx - x
sin
2 x
si n(2x) - 2x
0
=
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2sin x
(on utilise le résultat précédent: sin(2 x) - 2 x < 0)
f est donc strictement décroissante sur ]o. 1 [.
21.c) Comme f est continue et strictement décroissante sur !, alors :
JU) = L~r- J(x), }~11;1 + J
f : I - f (!) est smjective. Elle réalise donc une bijection de I surf(/).
21.d) Comme f (~) = i· alors, d'après la définition de g, g G) = i·
21.e) Comme f est dérivable sur I et que f'(V = l - ~ * 0, on peut appliquer le théorème de
~~~~ation des fonctions réciproques. On peut alors en déduire la fonction g est dé1ivable en i et
f (1f) l
g 4 = 1 - !!
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WJW 22.a) En écrivant j(x) = sh (sin x), et en utilisant le théorème de composition des fonctions dérivables, on en déduit que f est dérivable sur IR et que, pour tout réel x :
f' (x) = cos(x) ch (sin x)
22.b) La fonction .f est impaire. Sa dérivée est strictement positive sm [ 0, Î [. Elle est donc
strictement croissante sur] - ~,~[. Comme, par ailleurs, f est continue, l'image J = f (]-~, ~[)
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f - 2 ,f 2 = - ~, ~ .
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22.c) La fonction r
1 est impaire (comme/). On a donc r
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peut appliquer le théorème de dérivation des fonctions réciproques. On en déduit alors que r
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est dérivable en 0, avec :
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