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On obtient alors, pour )(
1
~'(x)
1
~
1
1
Ainsi, pour tout réel positif x:
0
0
1
+
0
e-1
/'
1
1 e
Par suite, comme, pour tout réel x de [0, n] :
on en déduit:
a e-a.
lf,i(x)I ~ -'-' -
n
1
lf,,(x)I ~ -
ne
""'
+oo
0
Pour tout réel positif x, il existe un entier no tel que, pour tout n ;;,, no :
X E (0, n)
On en déduit :
lim f,,(x) = 0
n~+oo
MijM Le domaine de définition de la fonction .
1
est
arcsin(4x)
Wl1i La fonction t/J : x E R.* H arctan x + arctan ( ~) est dérivable sur R.*. Sa dérivée est
donnée, pour tout réel non nul x, par :
t/f' (x) = 0
La fonction t/f est donc constante sur R.: :
V x > 0 : arctan x + arctan - = arctan 1 + arctan (1) = 2 arctan 1 = 2 - = -
( 1)
1r
1r
X
4 2
WJM 21.a) Cette inégalité est évidente pour tout réel x > 1. Il suffit donc de la démontrer pour
0 < x ~ 1. Or, sur l'intervalle Jo, 1 [(qui contient l'intervalle ]0, l]) la fonction cp : x H x- sin x
est dérivable; sa dérivée est donnée, pour tout x de ]o, 1 [,par
cp'(x) = 1 - cosx > 0
cp est donc strictement croissante sur ]0, l]. En particulier, pour tout réel x tel que 0 < x ~ 1 :
cp(x) > cp(O) = 0
On peut donc en déduire que, pour tout réel x tel que 0 < x ~ 1 :
x > sinx
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