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La forme de l'expression cherchée fait penser non pas au théorème des accroissements finis (on
aurait « deux c différents», un pour/, un pour g), mais au théorème de Rolle. Il suffit donc de
« construire» la bonne fonction.
O n peut en deviner la forme en remarquant que, si un tel c existe, il vérifi e :
(f(b) - /(a)) g'(c) - (g(b) - g(a)) J'(c) = 0
ce qui incite à considérer la fonction cp définie, pour tout réel x de [a , b] par:
cp(x) = (f(b) - /(a)) g(x) - (g(b) - g(a)) f(x)
Elle vérifie :
cp(a) = (f(b) - f(a)) g(a) - (g(b) - g(a)) /(a) = f(b) g(a) - g(b) f(a) = cp(b)
cp étant dérivable sur ]a, b[, le théorème de Rolle permet de conclure à l'existence du réel c
cherché.
Ml:M Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction
1; 1 : lR+ -7 lR
X
H
{ (t - ~r -e-x Si X E
0
sinon
[0,n]
18.a) La fonction polynomiale qui, à tout réel x de [0, n], associe ( 1 - ~r. est indéfiniment
dérivable. La fonction qui, à tout réel x de [0, n], associe e-x est elle aussi indéfiniment
dérivable, comme composée de la fonction exponentielle avec la fonction polynomiale
x H - x. fr, est donc indéfiniment dérivable sur [0, n].
18.b) Pour tout x de [O, n[ :
18.c)
140
( 1) ( x)n-1
t,;(x)=nx - ;; 1 - ;;
+e-x
=
(
x)n-1
- 1 - ;;
+ e- x
=
= e - x [ 1 - ex+(n- 1) ln(!-;)]
J;;(x) = e- x [ 1 - eh. où h,, est la fonction qui, à tout réel x de [0, n[, associe x + (n - 1) ln ( 1 - ~ ).
La fonction h,, est dérivable sur [0, n[ comme somme de fonctions dérivables sur [0, n[.
Pour tout x de [O, n[ :
(n - l)x(- ~)
h;/x) = 1 + - - -x - -
1 - -
n
n - 1
=
1 - - -
n - x
=
=
n - x - n + l
n - x
1 - x
n - x