"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
g est donc décroissante sur R Comme g(O) = 0, on a donc, pour tout réel positif x :
g(x) ~ g(O) i.e. sin x - x ~ 0
15.c) Pour montrer que, pour tout réel positif x > - 1 : ln( 1 + x) ~ x, il suffit d'étudier la fonction h
définie, pour tout réel x > - 1, par : h(x) = ln( l + x) - x.
h est dérivable sur] - l, +oo[. Pour tout réel x > - l :
1
-x
h'(x) = - - l = -
l+ x
l+ x
On obtient alors, pour h., le tableau de variations suivant :
h
- 1
/'
0
0
+co
- CO
- CO
On a donc, pour tout réel x > - 1, h(x) ~ 0, i.e. ln( 1 + x) - x ~ 0, qui est le résultat cherché.
Md 16.a) Soit fi une fonction dérivable en zéro. En posant h = 2 x, on obtient :
1
. . f i (2 x) - f i (0) _ 1
. f i (h) - fi (0) _ f'(O)
1m
- 1m
- 1
~o
2x
~o
h
Et:
1
. f1(2x) - f1(x)
1
. f 1(2x) - f 1(0)+f1(0) - f1(x)
1m
= 1m - - - - - - - - - - -
x -+O
X
x-+0
X
= lim { 2
fi (2x) - fi(O) _ f 1(x) - fi(O)}
x-+O
2 X
X
=
2f;(O) - J;(O)
=
.f[(O)
(À la première ligne, on recourt à l'astuce classique qui consiste à ajouter et retrancher la même
quantité, c'est-à-dire fi(O) . À la dernière ligne, il est légitime de séparer les limites, car elles
existent toutes deux.)
16.b) Soit fi une fo nction définie sur Ill, dérivable sur R On calcule, pour tout réel a :
. xfi(a) - afi(x)
. x (fi(a) - .fi(x)) - a fi(x) + xfi(x)
hm
= hm - - - - - - - - - - - -
x-+a
X - a
X-+ll
X - a
1
. x (f2(a) - f(x)) + (x - a) fi(x)
= un - - - - - - - - - - -
X-"l. a X (f2(a) - /{';:)~ 1· f: ( )
= 1m
+ 1m 2 x
x-+a
X - a
x-+a
=
- af~(a) + fi(a)
.
1 . fi(a) - fi(x) j''( )
pmsque 1m
= 2 a
x -+a
X - a
M• Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a, b] de Ill, à valeurs dans Ill,
continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. On suppose que g' ne s'annule pas sur ]a,b[, ce qui
permet d'en déduire, grâce au théorème de Rolle, que g(a) * g(b).
Montrons qu ' il existe un réel c dans ]a, b[ tel que:
f(b) - f(a)
.f'(c)
=
g(b) - g(a)
g'(c)
139
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
g est donc décroissante sur R Comme g(O) = 0, on a donc, pour tout réel positif x :
g(x) ~ g(O) i.e. sin x - x ~ 0
15.c) Pour montrer que, pour tout réel positif x > - 1 : ln( 1 + x) ~ x, il suffit d'étudier la fonction h
définie, pour tout réel x > - 1, par : h(x) = ln( l + x) - x.
h est dérivable sur] - l, +oo[. Pour tout réel x > - l :
1
-x
h'(x) = - - l = -
l+ x
l+ x
On obtient alors, pour h., le tableau de variations suivant :
h
- 1
/'
0
0
+co
- CO
- CO
On a donc, pour tout réel x > - 1, h(x) ~ 0, i.e. ln( 1 + x) - x ~ 0, qui est le résultat cherché.
Md 16.a) Soit fi une fonction dérivable en zéro. En posant h = 2 x, on obtient :
1
. . f i (2 x) - f i (0) _ 1
. f i (h) - fi (0) _ f'(O)
1m
- 1m
- 1
~o
2x
~o
h
Et:
1
. f1(2x) - f1(x)
1
. f 1(2x) - f 1(0)+f1(0) - f1(x)
1m
= 1m - - - - - - - - - - -
x -+O
X
x-+0
X
= lim { 2
fi (2x) - fi(O) _ f 1(x) - fi(O)}
x-+O
2 X
X
=
2f;(O) - J;(O)
=
.f[(O)
(À la première ligne, on recourt à l'astuce classique qui consiste à ajouter et retrancher la même
quantité, c'est-à-dire fi(O) . À la dernière ligne, il est légitime de séparer les limites, car elles
existent toutes deux.)
16.b) Soit fi une fo nction définie sur Ill, dérivable sur R On calcule, pour tout réel a :
. xfi(a) - afi(x)
. x (fi(a) - .fi(x)) - a fi(x) + xfi(x)
hm
= hm - - - - - - - - - - - -
x-+a
X - a
X-+ll
X - a
1
. x (f2(a) - f(x)) + (x - a) fi(x)
= un - - - - - - - - - - -
X-"l. a X (f2(a) - /{';:)~ 1· f: ( )
= 1m
+ 1m 2 x
x-+a
X - a
x-+a
=
- af~(a) + fi(a)
.
1 . fi(a) - fi(x) j''( )
pmsque 1m
= 2 a
x -+a
X - a
M• Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a, b] de Ill, à valeurs dans Ill,
continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. On suppose que g' ne s'annule pas sur ]a,b[, ce qui
permet d'en déduire, grâce au théorème de Rolle, que g(a) * g(b).
Montrons qu ' il existe un réel c dans ]a, b[ tel que:
f(b) - f(a)
.f'(c)
=
g(b) - g(a)
g'(c)
139