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et donc:
x E ]2krr - :: 2krr + ::[
2'
2
kE Z
1/12 est donc définie sur 'D.p 2 = LJ )2 k rr - :: , 2 k rr + :: [.
keZ
2
2
La dérivabilité de lf! 1 sur 'Dl/! 1 découle du théorème de dérivabilité des fonctions composées. Pour
tout x de 'f)l/! 1 , on calcule :
1
1 1 + tan
2
(~)
!/11(x)=2 tanG)
1
= - - - =
2 sinx
2
1
si n x
2 tanG)
puisque : sin x = - - - -
l + tan2 G )"
De même, on justifie la déiivabilité de 1/1 2 sur 'D.p 2 par les règles de composition usuelles. Pour
tout x de 'D"' 2 , on calcule :
'
1 1 + tan2 (~ + ~) 1
1
ifr2(X) = 2
(X rr) = 2 --(--rr-) = cos X
tan 2
+ 4
sin x + 2
2
2 tan(:: + ::)
.
. ( rr)
2 4
puisque: cosx =sin x+ 2 = .
(x rr)·
J + tan 2 - + -
2 4
MJW 15.a) Montrons que, pour tout réel x : ex ;;:i: 1 + x.
À cet effet, on introduit la fonction f, définie, pour tout réel x, par :
f(x) = ex - 1 - x
f est de classe C"" sur IR ; pour tout réel x :
f'(x) =ex - 1
On obtient alors, pour f, le tableau de variations suivant :
"
-OO
0
+oo
f '(x)
0
+
+oo
+oo
f
'\.
/'
Il
0
On a donc, pour tout réel x :
ex;;:i:1+x
15.b) Pour montrer que, pour tout réel positif x : sin x ~ x, il suffit d'étudier la fonction g définie,
pour tout réel positif x, par : g(x) = sin x - x.
g est de classe C"" sur R. ; pour tout réel x :
g'(x) = cosx-1~0
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