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Pour étudier la dérivabilité de cp, on calcule, pour tout réel x * 0 :
cp'(x) = - x
3
: 2 cosG) + 3x2 sinG) = - x cosG) + 3x
2 sinG)
On a alors:
lim cp' (x) = 0
X-->Û
La dérivée de cp peut donc être prolongée par continuité en zéro en posant: cp'(O) =O. La courbe
représentative de la fonction cp admet une tangente horizontale en zéro.
MIM On considère la fonction !fi définie par :
On calcule:
!fl(x) = { l - e
1
- (x-\>
2 si x * l
Si X= [
lim {i -e - (x-\1 2 } = l - lime - (x~i}l = l - lim e- X = 1 = !fl(O)
x -> l
x -> 1
X ->+oo
La fonction !fi est donc bien continue sur Ill (le seul problème se posait en 1, pat1out ailleurs, par
composition de fonctions continues, la continuité de if! ne pose pas de problèmes).
Pour étudier la dérivabilité de f, on calcule, pour tout réel x * l :
J
2 e - (x-1)2
l/l'(x) = (l - x )3
On a alors, par croissances comparées : lim if!' (x) =O.
X-> J
En repassant à la définition du nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, on en
déduit que la courbe représentative de la fonction !fi admet une tangente horizontale en zéro,
comme on peut le voir sur la figure suivante.
Mii On considère les fonctions l/; 1 et 1/1 2 définies par:
1/11 (x) = ln(tanG))
1/12(x) = ln (tan G + ~))
Considérons un réel x tel que !f11 (x) existe ; pour cela, il faut que tan(~) soit sui ctement positif,
soit:
c'est-à-dire
x E ]2kn,(2k+ l)n[
l/; 1 est donc définie sur .VJ/! 1 = LJ )2 k rr, (2 k + 1) rr[.
keZ
kE Z
kE Z
Considérons un réel x tel que !fl 2 (x) existe; pour cela, il faut que tan G + ~) soi t strictement
positif, soit :
- + - E k;rr k;rr + -
X
7r
]
;rr[
2 4
'
2
kE Z
soit :
~ E lk 7r - ~ k 7r + ~ [
2
4'
4
kE .:Z
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