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Miel On considère la fonction h 2 définie, pour tout x de IR \ { l }, par:
1
hdx)= - -
1 - x
Sur R. \ { l }, h 2 est la composée de la fonction inverse avec la fonction polynomiale x H l - x,
qui ne s'annule pas pour x-:;:. 1. La fonction inverse est dérivable sur R*. La fonction h2 est donc
dérivable sur IR \ {1} .
On peut alors calculer, pour tout réel x -:;:. 1 :
h
l/
2
·2 (x) = · 3
(1 - x)
h"'(x) = 2 X 3
2
(1 _ x)4
h(4)(x) = 2 X 3 X 4
2
(1 - x)5
On en déduit, par une récurrence immédiate, que, pour tout entier naturel n :
(11)
2 X 3 X ... X n
n !
h2 (x) = (1 _ x)n+I
= (1 _ x)n+I
MIM On considère la fonction f définie par :
f(x) = { 1 - e -:;t s~ x -:;:. 0
1
Sl X= Û
On calcule:
lim{1 -e--fe } = 1 - lime- -fe = 1 - lim e- x = 1 = f(O)
x->O
x->O
X ->+oo
La fonction f est donc bien continue sur R (le seul problème se posait en 0, partout ailleurs, par
composition de fonctions continues, la continuité de f ne pose pas de problèmes).
Pour étudier la dérivabilité de f, on calcule, pour tout réel x-:;:. 0:
f'(x) = 3._ e- *
x3
On a alors, par croissances comparées: limf'(x) =O.
x->0
En repassant à la définition du nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement, on en
déduit que la courbe représentative de la fonction f admet une tangente horizontale en zéro,
comme on peut le voir sur la figure suivante :
-1
La courbe représentat ive d e la fonction f .
MfW On considère la fonction cp définie par :
cp(x) = {x
3
sin(~) six-:;:. 0
Û
Si X= Û
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