"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Pour tout réel x positif, la relation donnée s'écrit aussi :
f(x) = f ( vx)
Par récurn-ence, on en déduit, pour tout réel strictement positif x, et tout entier naturel n :
f(x) = f( vx) = f(xt) = f(x~ ) = . . . = f (x in )
Compte tenu de :
lim x:Pr = lim e ~ = e
0
= l
n-++oo
n-++oo
on peut passer à la limite lorsque n tend vers +oo, et en déduire, par continuité de la fonction f
en 1 :
f(x) = lim f (xin ) = f ( lim xin ) = f ( lim e ';.: ) = f(.1)
11 -++oo
n -++oo
n-++oo
La fonction f étant continue en 0, on en déduit alors, pour tout réel positif x :
f(O) = lim j(x) = j(l)
x->O+
La parité de f conduit alors, pour tout réel x, à :
j(x) = f(O)
Les fonctions f cherchées sont donc constantes.
Réciproquement, on vérifie que les fonctions constantes sont bien so.lution de l'équation fonctionnelle cherchée.
M:M La fonction

des valeurs comprises entre - 1 et 1, la quantité 2 + cos x est donc strictement positive pour tout
réel x; la fonction qui, à tout réel x, associe 2 + cos x, est dérivable sur R., à valeurs strictement
positives, et la fonction logarithme népérien est dérivable sur Ill: ; on en déduit, par composition
de fonctions dérivables, la dérivabilité de

Sa dérivée est donnée, pour tout réel x, par :
'( )
- sinx
2 + cosx
On considère la fonction h. 1 définie, pour tout réel x, par : h 1 (x) = e-x.
h 1 est la composée de la fonction exponentielle avec la fo nction polynomiale x 1-+ - x. La fonc -
tion exponentielle est de classe C
00 sur R., il en est de même de la fonction x H - x. Par composition de fonction s de classe C
00 sur Ill, h 1 est donc aussi de classe C
00 sur R..
On peut alors calculer, pour tout réel x :
On en déduit, par une récutTence immédiate, que, pour tout entier naturel n :
135