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et donc:
La fonction cp est donc bien continue sur R
MW La fonction t/J faisant intervenir la partie entière, il suffit, pour étudier sa continuité, sur
JR, d'étudier ses limites en tout entier k. On calcule donc, pour k E Z :
lim (E(x) +lx - E(x)l
4
) = lim (k +lx - kl
4
) = k
x -+k+
x-+k+
et :
lim (E(x) + lx - E(x)1
4 ) = lim (k - 1 + lx - k - 11
4 ) = k - 1 + 1 = k
x -+kx -+kLa fonction tf; est donc bien continue sur R
6.a) Pour montrer que Fest définie sur ]O, 1], il suffi t de montrer que pour tout x E de JO, 1], le
réel ! +À - 1 appartient au domaine de définition de/, c ' est-à-dire [1l, +oo[.
X
On considère donc un réel x de ]O, 1]. Comme x ~ 1, alors ! ~ 1, et donc :
JI en résulte :
1
- - I;:i:O
X
1
- +À - l~ 1l
X
qui est le résultat cherché. Fest bien définie sur ]0, l].
X
6.b) La fonction Fest la composée de f et de la fonction x H ! +il - 1, qui est continue sur
X
]0, 1]. La fonction Fest donc continue sur ]0, l] .
6.c) Pour montrer que F est prolongeable par continuité en 0, on calcule :
lim F(x) = lim f (! + 1l - 1)
x-oO+
x-oO+
X
Comme lim (~ + 1l - 1) = +oo, alors, par composition des limites,
x-oO+ X
lim f (! + À - 1) = lim /(X) = 0
x -+O+
X
X ->+oo
Ainsi : lim F(x) = O. La fonction Fest bien prolongeable par continuité en O.
x-oO+
Déterminons les fonctions f, définies sur JR, à valeurs dans JR, continues en 0 et en 1
telles que, pour tout réel x :
f(x
2 ) = f(x)
On remarque que, pour tout réel x :
f( - x) = f(x
2 ) = f(x)
Les fonctions cherchées sont donc paires. On peut se restreindre à [0 , +oo[.
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