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Corrigés
-
Sur )0, +oo(, la fonction f est continue comme composée de la fonction exponentielle
l
avec la fonction x H - - . Il en est de même sur) - oo, 0[. Il reste donc à étudier la continuité de
X
f en zéro. Pour cela, on calcule :
lim e- ~ = lim e-x = 0 = /(0)
x->0+
X->+oo
La fonction f est donc bien continue sur R
MW Sur )0, 1[U]1, + oo[, la fonction g est continue comme composée de la fonction inverse
avec la fonction x H ln lxl. Il en est de même sur ] - oo, - 1 [Ul - 1, O[. li reste donc à étudier la
continuité de g en zéro, en L et en - 1. Pour cela, on calcule :
lim -
1
1
1
I = lim _ XI = 0 = g(O)
X->0 n X
X->-oo
J1m - - = un - = +oo
.
1
1 1 l'
1
x-> 1 ln lxl
x _,o• X
lim 1 -
1
-1 = lim ..!._ = +oo
x--+-1 ln lxl X --.o+ X
La fonction g est continue en O. Elle n'est pas continue en 1, ni en - 1.
MM Sur R \ {- 1, 1 }, la fonction h est continue comme composée de la fo nction inverse avec
la fonction x H x 2 - 1. Il reste donc à étudier la continuité de h en 1 et en - 1. Pour cela, on
calcule:
lim
= lim
=-OO
x-> l ,x< l x 2 - 1 x -> l ,x< I (x - 1) (x + 1)
lim x 2 - 1 =
lim
= + oo
x--+ l ,x> l
x--+ l , x> 1 (x - 1) (x + 1)
lim
= lim
= +oo
x -> -1 .x<- I x 2 - 1 x ->-l. x< - 1 (x - l ) (x + 1)
lim
x->- 1,x>- I x2 - 1
lim
X--+-\, X>- 1
La fonction h n'est donc pas continue sur R
l
- - - - - = - oo
(x - l )(x + 1)
Sur ]O, +oo[, la fonction 'P est continue comme produit de la fonction identité x H x
1
avec la fonction inverse x H - , elle-même composée avec la fonction sinus. Il en est de même
X
sur ) - oo, 0(. Il reste donc à étudier la continuité de i.p en zéro. Pour cela, il suffit de remarquer
que, pour tout réel x non nul :
(puisque 1 sin G )1 ~ 1) on aura donc, sous réserve d'existence :
lim l x sin (~)I ~ lim lxl
x->0
X
x->0
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