"O
0
c::
:J
0
v
...-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Déterminer le développement limité
à l'ordre 4 , au voisinage de 0, de chacune des
fonctions suivantes :
31.a) x H g 1 (x) = ~ + arcsin(x).
1 - x 2
31.b) x H g2(x) = ln(cos
2 x - sin
2 x).
Déterminer, lorsqu 'elles existent, les
limites suivantes :
Vl +sinx + e- ~ - 2
32.a) lim
3
.
x"""O
X
e v'l +sin x - e
32.b) lim - - - -
x-.o
tan x
32.c)
32.d )
r - x
l i m - - - -
x--+J 1 - x + lnx
lim (i + ~)x, où a est un réel.
x ..... +oo
X
Équations différentielles
linéaires du premier ordre
y'+ y= 2shx
y' + 2xy = 2x
Résoudre, sur JR:, l'équation différentielle (83) :
x y' - 3 x 3 y = 3 x 3 e 2 x3
Résoudre, sur l'intervalle I = )0, +oo [,
l'équation différentielle (8 4 )
y'=2y+x
X
Soit À un réel. Résoudre, sur IR.,
l'équation différentielle (8 5 ):
(x2 + l )y' +y= /1
Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle (86):
x
2 y' - x y = x
3 + x
Fonctions de plusieurs variables
Autour du laplacien en coordonnées polaires
Soit f : R.
2
~ JR, de classe C
2 .
En considérant le changement de vaiiables :
{
X= r COS0
y = r si n e
exprimer le laplacien b,. f en coordonnées polaires.
On rappelle qu'en coordonnées cartésiennes :
fPJ ô
2 f
b,.f = - + -
ôx2
ôy 2
Fonctions homogènes de degré a
2
Une fonction f : R. 2 ~ R est dite homogène
de degré a E R* si, pour tout réel strictement
positif À, et tout couple de réels (x, y) :
f(Àx,Ày) = /1° f(x,y)
Lorsque la fonction f est de classe C
1 sur !R.
2 ,
montrer que, pour tout couple de réels (x, y) :
ôf
ôf
X ÔX (X, y)+ !f a/X, y) = a f(x, y)
Quelques équations aux dérivées
partielles
41.a) En passant en coordon nées polaires,
déterminer les fonctions :
f : JR: X Ill ~ JR
de classe C
1 ' solutions de l'équation
aux dérivées partiel les :
ôf
ôf
x-+y-=0
ôx
ôy
41.b) Un cas particulier de l'équation des
ondes
À l'aide du changement de variables
{
u=x+y
V= x - y
déterminer les fonctions f : !R
2
~ Ill,
de classe C 2 ' solutions de l'équation
aux dérivées partielles :
=
ôx 2
ây 2
2. On rencontre, notamment, ce type de fonctions dans des équations aux dérivées partielles présentant une
invariance d'échelle.
132
0
c::
:J
0
v
...-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Déterminer le développement limité
à l'ordre 4 , au voisinage de 0, de chacune des
fonctions suivantes :
31.a) x H g 1 (x) = ~ + arcsin(x).
1 - x 2
31.b) x H g2(x) = ln(cos
2 x - sin
2 x).
Déterminer, lorsqu 'elles existent, les
limites suivantes :
Vl +sinx + e- ~ - 2
32.a) lim
3
.
x"""O
X
e v'l +sin x - e
32.b) lim - - - -
x-.o
tan x
32.c)
32.d )
r - x
l i m - - - -
x--+J 1 - x + lnx
lim (i + ~)x, où a est un réel.
x ..... +oo
X
Équations différentielles
linéaires du premier ordre
y'+ y= 2shx
y' + 2xy = 2x
Résoudre, sur JR:, l'équation différentielle (83) :
x y' - 3 x 3 y = 3 x 3 e 2 x3
Résoudre, sur l'intervalle I = )0, +oo [,
l'équation différentielle (8 4 )
y'=2y+x
X
Soit À un réel. Résoudre, sur IR.,
l'équation différentielle (8 5 ):
(x2 + l )y' +y= /1
Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle (86):
x
2 y' - x y = x
3 + x
Fonctions de plusieurs variables
Autour du laplacien en coordonnées polaires
Soit f : R.
2
~ JR, de classe C
2 .
En considérant le changement de vaiiables :
{
X= r COS0
y = r si n e
exprimer le laplacien b,. f en coordonnées polaires.
On rappelle qu'en coordonnées cartésiennes :
fPJ ô
2 f
b,.f = - + -
ôx2
ôy 2
Fonctions homogènes de degré a
2
Une fonction f : R. 2 ~ R est dite homogène
de degré a E R* si, pour tout réel strictement
positif À, et tout couple de réels (x, y) :
f(Àx,Ày) = /1° f(x,y)
Lorsque la fonction f est de classe C
1 sur !R.
2 ,
montrer que, pour tout couple de réels (x, y) :
ôf
ôf
X ÔX (X, y)+ !f a/X, y) = a f(x, y)
Quelques équations aux dérivées
partielles
41.a) En passant en coordon nées polaires,
déterminer les fonctions :
f : JR: X Ill ~ JR
de classe C
1 ' solutions de l'équation
aux dérivées partiel les :
ôf
ôf
x-+y-=0
ôx
ôy
41.b) Un cas particulier de l'équation des
ondes
À l'aide du changement de variables
{
u=x+y
V= x - y
déterminer les fonctions f : !R
2
~ Ill,
de classe C 2 ' solutions de l'équation
aux dérivées partielles :
=
ôx 2
ây 2
2. On rencontre, notamment, ce type de fonctions dans des équations aux dérivées partielles présentant une
invariance d'échelle.
132